ГЛАВА 14. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

§ 1. Теорема о кинетической энергии и закон сохранения механической энергии точки

Теорема о кинетической энергии точки в дифференциальной форме

Умножая скалярно обе части уравнения движения материальной точки на элементарное перемещение точки получим

Отсюда

или, так как , то

Скалярная величина или половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией точки или живой силой точки.

Последнее равенство составляет содержание теоремы о кинетической энергии точки в дифференциальной форме, которая гласит: дифференциал кинетической энергии точки равен элеменарной работе, действующей на точку силы.

Физический смысл теоремы о кинетической энергии заключается в том, что работа, производимая действующей на точку силой, накапливается в ней как кинетическая энергия движения.

Теорема о кинетической энергии точки в интегральной форме

Пусть точка переместилась из положения Л в положение В, пройдя по своей траектории конечную дугу АВ (рис. 113). Интегрируя в пределах от Л до Б равенство:

находим:

где соответственно скорости точки в положениях А и В.

Последнее равенство составляет содержание теоремы о кинетической энергии точки в интегральной форме, которая гласит: изменение кинетической энергии точки за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за то же время действующей на нее силой.

Рис. 113

Полученная теорема справедлива при движении точки под действием любой силы. Однако, как указывалось, для вычисления полной работы силы нужно в общем случае знать уравнения движения точки.

Поэтому теорема о кинетической энергии, вообще говоря, не дает первого интеграла уравнений движения.

Интеграл энергии

Теорема о кинетической энергии дает первый интеграл урав нений движения точки, если полная работа силы может быть определена, не прибегая к уравнениям движения. Последнее, возможно, как ранее указывалось, если сила, действующая на точку, принадлежит к силовому полю. В этом случае достаточно знать только траекторию точки. Пусть траектория точки будет некоторая кривая, тогда координаты ее точек можно выразить через дугу траектории, и, следовательно, сила зависящая от координат точки, может быть выражена через

и теорема о кинетической энергии дает первый интеграл вида

где — дуги траектории, соответствующие точкам А и — проекция силы на касательную к траектории (рис. 113).

Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии точки

Особый интерес представляет движение точки в потенциальном поле, так как теорема о кинетической энергии дает при этом весьма важный интеграл уравнений движения.

В потенциальном поле полная работа силы равна разности значений силовой функции в конце и в начале пути:

Следовательно, теорема о кинетической энергии в этом случае записывается в виде:

Силовая функция, взятая с обратным знаком называется потенциальной энергией точки и обозначается буквой П:

Потенциальная энергия, так же как и силовая функция, задается с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевой поверхности уровня. Сумма кинетической и потенциальной энергии точки называется полной механической энергией точки.

Теорема о кинетической энергии точки, если сила принадлежит к потенциальному полю, записывается в виде:

где — значения потенциальной энергии, соответствующие точкам А и В. Полученное уравнение составляет содержание закона сохранения механической энергии для точки, который гласит: при движении в потенциальном поле сумма кинетической и потенциальной энергии точки остается постоянной.

Так как закон сохранения механической энергии справедлив только для сил, принадлежащих потенциальным полям, то силы такого поля называются консервативными (от латинского глагола conservare — сохранять), чем подчеркивается выполнение в этом случае сформулированного закона. Заметим, что если понятие кинетической энергии имеет в своем определении известные физические основания, то понятие потенциальной энергии этого лишено. Понятие потенциальной энергии в известном смысле является фиктивной величиной, которая определяется так, что изменения ее значения в точности соответствуют изменениям кинетической энергии. Введение этой величины, связанной с движением, помогает описанию движения и благодаря этому играет существенную роль в так называемом энергетическом описании движения, разрабатываемый аналитической механикой. В последнем и заключается смысл введения этой величины.

Определение начальной, скорости ракеты при заданной высоте ее подъема

Укажем пример применения теоремы о кинетической энергии точки. Будем рассматривать ракету как материальную точку, находящуюся под действием силы закона всемирного тяготения. Пусть эта точка движется вертикально вверх и достигает заданной высоты над поверхностью Земли. Сопротивлением атмосферы будем пренебрегать. Обозначим начальную скорость ракеты через конечная скорость ракеты на высоте будет Применяя теорему о кинетической энергии точки в интегральной форме к моментам запуска и максимальной высоты ракеты, запишем:

где — масса ракеты, М — масса Земли, R — радиус Земли. Последнее равенство перепишем в виде:

Следовательно, окончательно имеем

Для того, чтобы ракета ушла в бесконечность ей, используя полученную формулу, надо придать начальную скорость, равную:

Эта скорость, если принять км, равна приблизительно

Она носит название второй космической скорости.