§ 3. Отклонение падающих тел от вертикали

Постановка задачи

Как уже указывалось, из принципа относительности Галилея следует, что никакими механическими опытами нельзя установить поступательное, равномерное и прямолинейное движение тела в пространстве. Однако механический эксперимент может установить неинерциальное движение тел, в частности, подтвердить вращение Земли вокруг оси.

Указанная задача в свое время сыграла огромную роль, так как успешное разрешение ее опровергло много веков существовавшее воззрение о неподвижности Земли в мировом пространстве. Одним из экспериментов, подтверждающих вращение Земли вокруг оси, является отклонение тел, падающих в вакууме от вертикали. Последнее возникает в результате действия поворотной силы инерции, существование которой и подтверждает вращение Земли. Теоретическому разбору указанного эксперимента посвящен настоящий параграф.

Вывод уравнений

Пусть точка массы падает без начальной скорости на Землю с высоты Н. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Величину Н можно считать малой по сравнению с радиусом Земли и поэтому не будем учитывать зависимость силы тяжести от расстояния.

Рассмотрим систему координат, жестко связанную с Землей, начало которой находится на поверхности Земли.

Ось направим по истинной вертикали вверх, проведя ее через положение, занимаемое точкой в начальный момент времени. Ось х проведем по касательной к меридиану с севера на юг, а ось у направим по касательной к параллели с запада на восток (рис. 64). Выбранная система, строго говоря, не будет прямоугольной, так как ось направленная по истинной вертикали, не совпадает с радиусом Земли. Однако вызванная этим неточность расчета мала, как следует из результатов предыдущего параграфа, и не превышает неточности, связанной с отклонением истинной формы Земли (геоида) от сферы. Следовательно, заметно повлиять на результат она не может. Заметим, что в принятом приближении угол между осью и экваториальной плоскостью можно полагать равным широте места.

Рис. 64

Точка находится под действием силы тяжести направленной вниз по истинной вертикали, и силы инерции Кориолиса Фкор, вызванной вращением координатной системы вместе с Землей. Напомним, что силы инерции переносного движения входят в силу тяжести, как следует из предыдущего параграфа. Таким образом, уравнение движения рассматриваемой точки будет иметь вид:

или

Составим таблицу проекций векторов, входящих в это уравнение на выбранные оси координат:

Кроме того, запишем:

Таким образом, движение рассматриваемой точки описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Интегрируя правые и левые части этих уравнений, получаем:

где постоянные определяемые начальными условиями, которые имеют вид:

н, следовательно,

Поэтому предыдущие уравнения принимают вид:

Интегрирование уравнений

Используя первое уравнение, находим:

Подставив это выражение в третье уравнение, получим:

Производя интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий, будем иметь:

Подставив теперь (8.2) и (8.3) во второе уравнение системы, (8.1), получим:

или

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Общее решение его имеет вид где — общее решение однородного уравнения — какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Общий интеграл однородного уравнения запишется так:

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

где А, В, С пока неопределенные постоянные. Подставив это выражение в уравнение (8.4), будем иметь:

Приравнивая коэффициенты, стоящие в правой и левой частях этого равенства, при одинаковых степенях t, получаем:

Откуда

и

Следовательно, общий интеграл уравнения (8.5) имеет вид:

Далее, так как при то

и, следовательно,

Таким образом, получена зависимость х от t. Для нахождения зависимости воспользуемся равенством

Подставив сюда производную от найденного выражения для у, получим

Наконец, подставив (8.5) в (8.3), будем иметь:

Исследование решения

Формулы (8.5), (8.6) и (8.7) представляют собой уравнения движения рассматриваемой точки в конечном виде. Из них видно, что под действием поворотной силы инерции она отклоняется от вертикали в южном и в восточном направлениях. Кроме того, она немного замедляет свое падение

На полюсе падение совершается строго по вертикали , что объясняется отсутствием там поворотной силы инерции (вследствие коллинеарности векторов На экваторе имеет место только восточное отклонение (в этом случае векторы перпендикулярны, и, следовательно, поворотная сила инерции направлена строго на восток).

Для оценки полученных отклонений, учитывая малось величины разложим функции в ряд по степеням . Ограничиваясь двумя членами разложения, будем иметь:

Из этих формул видно, что южное отклонение представляет собой величину высшего порядка малости по сравнению с восточным отклонением. Отбросив в полученных формулах величины высшего порядка малости по сравнению с с вполне достаточной точностью, можем считать:

Найдем теперь зависимость восточного отклонения у от высоты падения. Для этого положим и решим полученное уравнение. Тогда будем иметь:

Подставив затем это выражение в формулу для у, найдем:

При падении с высоты на широте Москвы получим .

Из приведенных расчетов следует, что величина восточного отклонения получается достаточно большой и ее можно обнаружить при экспериментальной проверке. Неоднократно проводившиеся опыты подтвердили наличие восточного отклонения, близкого к теоретическому значению. Таким образом, эти эксперименты могут служить подтверждением вращения Земли.

Физическая сторона явления

Наличие восточного отклонения у падающего тела можно было предвидеть на основании следующего приближенного рассмотрения, поясняющего физическую сторону этого явления. Для простоты отнесем наши рассуждения к экватору. Пусть тело поднято

на высоту Н над Землей и имеет относительно Земли нулевую начальную скорость. Это значит, что в начальный момент абсолютная скорость этого тела равна и направлена на восток, т. е. вдоль оси у. При падении тела эта скорость будет сохранять свою величину вследствие почти инердиального движения вдоль оси у. В то же время точка на поверхности Земли, т. е. начало координат выбранной системы имеет абсолютную скорость

Иначе говоря, падающее тело как бы обгоняет точку земной поверхности в ее движении на восток, что и обуславливает восточное отклонение.