§ 3. Вариационный интегральный принцип Гамильтона — Остроградского

Прямые и окольные пути механической системы

Переходя к рассмотрению интегрального принципа, следует ввести ряд вспомогательных понятий, которые используются при его выводе.

Рассмотрим механическую систему, обладающую степенями свободы. Тогда в момент времени положение системы в пространстве определится обобщенными координатами или, переходя к -мерному пространству (подпространство конфигураций), положение системы в момент времени определится точкой А этого -мерного пространства. В другой момент времени положение системы определится точкой В -мерного пространства. Из положения А в положение В механическая система под действием приложенных сил перейдет по некоторой траектории -мерного пространства, которая носит название прямого пути механической системы. Однако из положения А в положение В можно перейти другими путями, бесконечно близкими к прямому пути. Совокупность этих всех путей носит название окольных путей системы или траекторий сравнения.

Изохронная вариация

Переход от прямого пути к окольным путям механической системы характеризуется изменением обобщенных координат системы или вариациями их.

Подсчитывая такие вариации, будем требовать, чтобы переход от какой-либо точки прямого пути к точкам окольных путей совершался при неизменном времени. Такие вариации называются изохронными (заметим, что все вариации координат, с которыми мы имели дело, являются изохронными вариациями).

Рассмотрим геометрический смысл и свойства изохронной вариации.

Пусть некоторая обобщенная координата системы есть известная функция времени

Дифференциал обобщенной координаты, равный

есть изменение координаты вследствие действительного движения системы (рис. 137). Изменим вид функции, положив

где — произвольная дифференцируемая функция времени, — бесконечно малая произвольная постоянная.

Изменение вследствие изменения вида функции называется изохронной вариацией и обозначается, как указывалось ранее, через (рис. 137):

Рис. 137

Покажем, что изохронная вариация и дифференцирование по времени коммутативны. Действительно, дифференцируя последнее равенство, имеем

Но по определению следовательно:

Покажем также, что вариация от интеграла функции равна интегралу от вариации функции Проинтегрируем равенство, определяющее изохронную вариацию

Но по определению . Тогда

Подчеркнем еще раз, что при изохронной вариации время остается неизменным или

Формулировка принципа Гамильтона—Остроградского

Уравнения движения голономной консервативной системы с идеальными связями можно записать в виде:

Покажем, что существование указанной системы уравнений равносильно условию:

где А и В — два положения механической системы, соответствующие моментам времени можно рассматривать как две точки -мерного пространства. Интеграл

носит название действия стильтону и обозначается через тогда равенство (23.3) приобретает вид:

Равенство (23.4) составляет содержание принципа Гамильтона — Остроградского, который можно сформулировать следующим образом: действительное движение системы между двумя заданными положениями ее отличается от кинетически возможных движений, совершаемых за тот же промежуток времени между теми же заданными положениями, тем, что для действительного движения вариация действия по Гамильтону равна нулю.

Принцип Гамильтона — Остроградского можно принять в качестве аксиомы механики. Особенность этого принципа заключается в том, что он представляет собой уравнения движения механических систем, которые не связаны с выбором системы осей координат. Благодаря этой особенности принцип Гамильтона — Остроградского имеет широкое применение в вопросах теоретической физики.

Доказательство необходимости

Докажем, что равенство (23.4) является необходимым условием выполнения уравнений движения (23.3). Умножим каждое из уравнений (23 3) соответственно на и сложим их. Тогда получим соотношение:

Преобразуем первый член этого равенства. Для этого подсчитаем выражение:

или, используя свойства изохронной вариации, имеем:

Исходное равенство теперь можно представить в виде:

Так как в общем случае функция Лагранжа зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, то последняя сумма равна и

Интегрируя это равенство в пределах от А до В, имеем:

Заметим, что в -мерном пространстве все траектории сравнения проходят через точки А и В. Следовательно, для моментов времени соответствующих этим точкам, обобщенные координаты системы имеют определенные значения и их вариации будут равны нулю:

Следовательно,

В силу изохронности вариации последнее равенство может быть переписано в виде:

и, таким образом, необходимость выполнения равенства, составляющего содержание принципа Гамильтона — Остроградского, доказана.

Доказательство достаточности

Займемся теперь рассмотрением обратной задачи, именно, принимая аксиоматически принцип Гамильтона — Остроградского, получим из него уравнения движения.

Итак, имеем:

или, более подробно развертывая вариацию запишем:

Преобразуем интеграл вида:

Применим к последнему интегралу формулу интегрирования по частям, тогда

Но

так как указывалось ранее, вариации обобщенных координат в точках равны нулю. Возвращаясь к исходному равенству, теперь можно записать:

Гак как пределы интегрирования последнего интеграла выбраны произвольно, то для равенства этого интеграла необходимо, чтобы подынтегральная функция обращалась в нуль:

Вследствие произвольности вариаций обобщенных координат из последнего равенства запишем уравнения движения:

Следовательно, принцип Гамильтона — Остроградского является условием не только необходимым, но и достаточным для существования уравнения движения (23.3).

Видоизменение принципа Гамильтона — Остроградского

Принципу Гамильтона — Остроградского можно придать другой вид, если ввести функцию Я. Именно, так как

то, вводя обобщенный импульс и переходя к функции Гамильтона, имеем:

Подставляя теперь в принцип Гамильтона — Остроградского, получаем последний в видоизмененной форме:

Смысл последнего равенства заключается в том, что переменными теперь являются независимые вариации их следует вычислить по-прежнему при постоянном I. С геометрической точки зрения видоизменение принципа Гамильтона — Остроградского представляет собой переход при изучении движения системы от пространства конфигураций к фазовому пространству.

Вывод канонических уравнений движения из видоизмененного принципа Гамильтона — Остроградского

В качестве следствия видоизмененного принципа Гамильтона — Остроградского получим канонические уравнения движения системы. Именно, развертывая вариацию, имеем

Последний член полученного равенства можно преобразовать, пользуясь формулой интегрирования по частям. Именно:

Но

поэтому окончательно получим

Так как в этом выражении интервал интегрирования произволен и вариации независимы и также произвольны, то приходим к системе канонических уравнений движения механических систем:

В заключение заметим, что принцип Гамильтона — Остроградского сформулирован нами для консервативных систем, однако его можно обобщить и для неконсервативных систем.