§ 5. Общий случай движения свободного твердого тела. Теорема Шаля
Теорема Шаля. Полюс
Геометрическая картина движения свободного твердого тела дается теоремой Шаля, которая гласит: всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения в другое за время 
может
быть осуществлено посредством поступательного его перемещения, равного перемещению некоторой точки тела и повороту около этой точки. Докажем эту теорему. Пусть положение тела определяется в момент t тремя его точками 
не лежащими на одной прямой. Пусть в момент 
эти точки занимают положения 
(рис. 36). Тогда из первого положения во второе эти точки можно перевести поступательным движением, совмещая точку 
или 
и поворотом вокруг точки 
(или вокруг 
или 
Причем поворот будет одинаков и относительно точки 
, таким образом, не зависит от выбранной точки.
Рис. 36
Так как вращение вокруг точки сводится к вращению вокруг оси (на основании теоремы Даламбера), то общий случай перемещения тела из одного положения в другое можно рассматривать как сочетание двух простейших его движений.
Точка, перемещение которой выбирается в качестве поступательного перемещения тела или вокруг которой тело совершает поворот, называется полюсом. Как следует из сказанного, за полюс может быть выбрана произвольная точка.
Если рассматривать два бесконечно близких положения тела, или перейти к пределу при 
то из сказанного следует, что в каждый данный момент тело движется, совершая одновременно поступательное движение, характеризуемое выбранным полюсом, и вращательное вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.
Скорости точек абсолютно твердого тела
Введем обозначения: 
— радиус-вектор какой-либо точки М тела (рис. 37), 
— радиус-вектор полюса 
— радиус-вектор, соединяющий точки 
и М (рис. 37). Эти векторы связаны соотношением:
Дифференцируя это равенство по времени, получим:
Вектор 
представляет собой скорость точки М, — скорость точки 
— скорость вращения точки М вокруг
точки 
которая по формуле Эйлера записывается в виде: 
Следовательно,
Полученная формула определяет распределение скоростей твердого тела. Причем скорость 
зависит от выбора полюса, а 
от полюса не зависит.
Рис. 37
Итоги главы
Из настоящей главы следует, что любое движение твердого тела сводится к двум простейшим движениям (поступательному и вращательному вокруг оси). Причем общий случай движения тела раскладывается на два простейших движения. Естественно, при этом возникает вопрос: если тело одновременно участвует в ряде движений, нельзя ли их заменить одним движением? Рассмотрению этих вопросов посвящена следующая глава.
