ГЛАВА 22. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

§ 1. Канонические переменные

Значение преобразований уравнений движения

Предположим, что рассматриваемые системы являются голономными и силы потенциальными. Движение этих систем описывается соответствующими уравнениями Лагранжа второго рода, которые, являясь дифференциальными уравнениями второго порядка, требуют для однозначного определения движения системы задания начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. В последнем смысле обобщенные координаты и обобщенные скорости образуют полную систему независимых переменных, необходимых для описания движения системы. Указанные соображения приводят к мысли о том, что рационально перейти от дифференциальных уравнения движения второго порядка к уравнениям первого порядка, зависящим от переменных, полностью определяющих движение системы. Указанное преобразование, выполненное Гамильтоном, привело к системе простых по форме и симметричных относительно основных переменных уравнений, которые благодаря этим свойствам получили название канонических (простейших).

Канонические переменные

Переменными новых уравнений, введенными Гамильтоном, являются обобщенные координаты и обобщенные импульсы Последние, как указывалось ранее (см. главу 20, § 5), определяются равенствами:

Так как функция Лагранжа не содержит членов выше второго измерения относительно обобщенных скоростей, то обобщенные импульсы будут линейными функциями обобщенных скоростей

где — коэффициенты, зависящие от обобщенных координат.

Можно доказать, что из последних соотношений определяются как функции обобщенных импульсов, обобщенных координат и времени. Обобщенные координаты и обобщенные импульсы называются каноническими переменными.

Уравнение движения системы первого порядка

Введение канонических переменных фактически приводит к переходу от описания движения системы при помощи дифференциальных уравнений второго порядка к описанию движения при помощи дифференциальных уравнений первого порядка. Действительно, из уравнений (22.1) определяем обобщенные скорости:

где представляют собой некоторые функции обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени t. Далее, вводя обобщенные импульсы уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем, можно записать:

Системы уравнений (22.2) и (22.3) представляют собой уравнения первого порядка относительно переменных которые из них находятся как функции времени. Следует заметить, что система уравнений (22.2) и (22.3) не симметрична.

Дальнейшие преобразования направлены на то, чтобы придать уравнениям движения, записанным в канонических переменных, симметричный вид.

Фазовое пространство

Канонические переменные широко применяются в квантовой и статистической механике. В указанных дисциплинах каноническим переменным дается в ряде случаев удобная для исследования движения геометрическая интерпретация. Именно, канонических переменных системы можно рассматривать как точку -мерного пространства, которое получило название фазового пространства. Движение системы можно рассматривать как траекторию в фазовом пространстве. Фазовое пространство канонических переменных аналогично подпространству конфигураций обобщенных координат. Однако известное преимущество фазового пространства перед подпространством конфигураций заключается в том, что через каждую точку фазового пространства проходит только одна траектория движения системы, в то время как в подпространстве конфигураций проходит бесчисленное множество траекторий движения системы (ибо последние зависят от начальных скоростей движения точек системы).