§ 8. Приведение произвольной системы сил

Вспомогательная теорема

Приведение произвольной системы сил или замена заданной системы ей эквивалентной, но более простой требует доказательства вспомогательной теоремы, которая заключается в следующем.

Силу можно переносить в любую точку пространства О, если добавить при этом пару с моментом, равным моменту силы относительно точки О.

Рис. 99

Пусть сила приложена в точке А (рис. 99). Приложим в точке О уравновешенную систему сил причем — собственно параллельные силы. Очевидно, система трех сил — эквивалентна одной силе Но силы и образуют пару с моментом

а сила изображается тем же вектором, что и сила но приложенным в другой точке пространства. Таким образом, теорема доказана. Пара называется присоединенной парой.

Главный вектор и главный момент

Пусть на абсолютно твердое тело действует система сил приложенных к различпым его точкам и как угодно расположенных в пространстве (рис. 100). Выберем произвольную точку О, которая называется точкой приведения и перенесем в нее параллельно самим себе силы При этом на основании доказанной теоремы нужно прибавить присоединенных пар с моментами:

где — радиус-вектор, идущий из точки приведения О к точке приложения силы.

Рис. 100

Таким путем исходная система сил приводится к силам, приложенным в точке О, и к парам. Силы приложенные в точке О, можно заменить результирующей, равной

Вектор R называется главным вектором системы сил. Главный вектор не является равнодействующей, так как он не эквивалентен первоначальной системе сил. Далее, систему из пар можно заменить одной парой с моментом М, равным геометрической сумме моментов присоединенных пар:

Момент называется главным моментом системы относительно точки приведения О. Итак, система сил приводится к одной силе — главному вектору и к одной паре, момент которой равен главному моменту.

Так как главный вектор представляет собой силу, приложенную к твердому телу, то этот вектор скользящий, линия действия которого проходит через точку приведения О. Главный момент, характеризующий пару-вектор, свободный.

Изменение точки приведения

В описанном упрощении системы сил точка приведения О выбиралась произвольно. Рассмотрим, как изменяется R и М при изменении точки приведения О на точку О. Главный вектор системы

как следует из предыдущего, не изменяется при изменении точки приведения:

Следовательно, вектор R при изменении точки приведения остается неизменным по величине и направлению и меняет только свою линию действия, проходящую Через точку приведения.

Рис. 101

Главный момент изменяется при переходе к новой точке приведения. Действительно, обозначив через М главный момент системы относительно точки О, имеем:

где — радиус-вектор, идущий из О в точку приложения Но, как следует из рис. 101,

и

Но первый член этой суммы представляет собой главный момент М о тносительно точки О, и так как

то окончательно получим:

Следовательно, главный момент М относительно точки равен сумме главного момента М относительно точки О и момента главного вектора приложенного в точке О, относительно точки О. Итак, главный момент — это свободный вектор, изменяющий свою величину и направление при изменении точки приведения.

Если точки О и О соединяют отрезок, параллельный то из последней формулы следует, что или вектор главного момента остается неизменным вдоль произвольной прямой, параллельной

Инварианты приведения

Векторы, не меняющие величины и направления при изменении точки приведения, носят название инвариантов приведения. Этому условию удовлетворяют вектор следовательно, он является первым инвариантом приведения.

Главный момент при переносе точки приведения изменяется, так как изменяются на (рис. 101) и поэтому не являются инвариантом. Однако проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от точки приведения и, следовательно, является вторым инвариантом приведения. Действительно, умножим скалярно М на тогда, так как имеем:

Но, так как вектор перпендикулярен то второе слагаемое равно нулю и

или

Сокращая это равенство на находим

Итак, проекция главного момента на направление главного век тора является вторым инвариантом приведения.

Динама

Поставим перед собой задачу найти такую точку приведения в которой главный момент достигает по модулю минимального значения. Из определения второго инварианта приведения следует, что это будет точка, в которой главный момент направлен вдоль главного вектора системы. Найдем эту точку. Для этого выберем произвольную точку приведения О и найдем для нее силу R и пару с моментом М, который направлен под углом а к R (рис. 102). Разложим вектор М на две составляющие: одну, направленную вдоль R и равную, очевидно, и вторую, перпендикулярную R и равную . Это разложение эквивалентно замене результирующей пары с моментами М двумя парами: одной с

Рис. 102

моментом и плоскостью действия, перпендикулярной вектору и другой с моментом и с плоскостью действия, параллельной Силу R всегда можно считать лежащей в плоскости действия второй пары.

Заменим пару силами R и равными по модулю причем силу приложим в точке О. Тогда сила R окажется приложенной в точке 00 на расстоянии равном

Система сил R и приложенных в точке О, взаимно уравновешена и ее можно отбросить, а вектор как свободный, можно перенести в точку . В результате, совершив переход от точки О к точке получаем главный вектор и минимальный главный момент, направленный вдоль йектора

Итак, любая система сил может быть приведена к одной силе и к одной паре, плоскость действия которой перпендикулярна этой силе. Такая система называется динамой.

Так как R и М или, в частности, не меняются вдоль прямой, параллельной то система приводится к динаме, если точки приведения расположены вдоль линии действия R и проходящей через Эта линия называется центральной осью системы.

Различные случаи приведения пространственной системы сил

Рассмотрим различные случаи приведения пространственной системы сил.

1. Если главный вектор R и главный момент М не перпендикулярны друг другу, то, как показано, система приводится к динаме.

2. Если главный момент перпендикулярен к главному вектору, то и система может быть приведена к одной силе т. е. равнодействующей.

3. Если главный момент М в точке О равен нулю, а главный вектор не равен нулю, то система приводится к равнодействующей приложенной в точке О.

4. Если главный вектор системы равен нулю а главный момент М не равен нулю, то система приводится к одной паре с моментом, равным М, который в этом случае не будет зависеть от точки приведения.

5. Если при приведении к некоторой точке главный вектор и главный момент равны нулю, то то же самое будет при приведении к любой другой точке. В этом случае система сил будет уравновешенной.

Приведение плоской системы сил

Рассмотрим плоскую систему сил Выбрав в плоскости этих сил точку приведения О, получим главный вектор системы.

лежащий в той же плоскости.

Векторные моменты всех присоединенных пар в этом случае перпендикулярны плоскости действия сил и, следовательно, главный момент будет тоже перпендикулярен этой плоскости, а значит и главному вектору. Поэтому если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то она приводится к одной равнодействующей силе. Если же главный вектор равен нулю, то система приводится к одной паре.

Таким образом, неуравновешенная плоская система сил приводится либо к силе, либо к паре.

Теорема Вариньона

Если система сил приводится к равнодействующей, то для нее справедлива теорема Вариньона, которая заключается в следующем. Момент равнодействующей системы сил относительно произвольной точки равен сумме моментов этих сил относительно той же точки.

Пусть система сил сводится к равнодействующей, приложенной в точке Возьмем другой центр приведения— произвольную точку О. Тогда система сил сведется к главному вектору R и главному моменту который будет перпендикулярен главному вектору. Из предыдущего следует:

Но следовательно,

где — момент равнодействующей данной системы сил относительно точки О. Но, по определению, главный момент равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно произвольной точки. Таким образом,

и теорема Вариньона доказана.

Эта теорема позволяет в некоторых случаях пугем рационального выбора точки О находить равнодействующую системы сил проще, чем непосредственным сложением сил.