§ 2. Релятивистские уравнения движения связных механических систем

Постановка задачи о движении связных механических систем

Пусть на систему, состоящую из материальных точек, имеющих массы действует а геометрических нестационарных, не освобождающих связей, удовлетворяющих преобразованиям Лоренца. Тогда, выбирая обобщенные координаты запишем радиусы-векторы точек системы в виде:

Отсюда можно определить скорость точки как функцию обобщенных координат обобщенных скоростей времени

Предполагая, что на точки системы действуют силы Лоренца, функцию Лагранжа каждой точки системы запишем в виде:

где зависит от

Обозначим через силу реакций связей, действующих на точки системы. Рассматривая как криволинейные координаты точек системы в -мерном пространстве и используя результаты предыдущего параграфа, запишем уравнения движения точек системы в виде:

где Следовательно, число указанных уравнений будет Просуммируем уравнения по тогда придем к уравнениям вида:

Поставив знак суммирования под знак дифференцирования и обозначая

где — будем называть функцией Лагранжа механической системы, придем к уравнениям вида:

Последние уравнения содержат обобщенных координат и неизвестных составляющих реакций связей. Как было показано ранее (см. главу 19, § 3), система уравнений движения связных механических систем замыкается, если ввести постулат идеальности связей.

Постулат идеальности связей

Постулат идеальности связсй имеет вид:

Используя уравнения (31.8), имеем:

Следовательно:

или, изменяя порядок суммирования, имеем:

Так как обобщенные координаты независимы, то вариации их произвольны и из последнего равенства следует равенств вида:

Полученные равенства представляют собой условия идеальности связей в обобщенных координатах.

Уравнения Лагранжа второго рода релятивистской механики

Из (31.11) и (31.12) следуют уравнения вида

где

и

Полученные уравнения представляют собой релятивистские уравнения Лагранжа второго рода. Эти уравнений служат для определения обобщенных координат как функций времени. Так же, как и в ньютонианской механике, эти уравнения в случае циклических обобщенных координат приводят к интегралам уравнений движения вида:

где есть обобщенный импульс системы. Заметим, что указанный вывод уравнений Лагранжа отличен от приведенного в главе 20, § 2, так как преобразования, которые имели место в ньютонианской механике, в результате изменения вида Лагранжиана, не имеют места в релятивистской механике, и, следовательно, автоматическое применение уравнений Лагранжа главы 20 без приведенного здесь доказательства не обосновано.

О канонических уравнениях в релятивистской механике

Вводя функцию Гамильтона

так же, как это имело место в ньютонианской механике, перейдем от уравнений Лагранжа второго рода к каноническим уравнениям вида:

Принцип Гамильтона — Остроградского

Также, как и в ньютонианской механике, справедливость уравнений Лагранжа второго рода (31.13) приводит к принципу Гамильтона — Остроградского, который имеет тот же вид, что и в ньютонианской механике, именно:

Итоги главы

Подводя итоги настоящей главы, следует обратить внимание на то, что здесь рассматриваются только пространственные составляющие второго закона Ньютона в мире Минковского. Без четвертой временной составляющей уравнения не будут ковариантны относительно преобразований Лоренца. Таким образом, найденные уравнения являются релятивистскими лишь в каком-то ограниченном смысле.

На первый взгляд кажется, что указанный дефект может быть преодолен, если перейти к миру Минковского и собственному времени т. Однако в случае систем материальных точек каждая из них будет иметь свое собственное время, и переход к уравнениям, описывающим движение системы в этом случае не ясен.

Об общей теории относительности

Дальнейшее развитие механики связано с рассмотрением вопросов зависимости свойств пространства от масс, распределенных в нем, что позволяет по-новому трактовать вопросы тяготения и инерции. Эта область знания связана с именем Эйнштейна и носит название «общей теории относительности», хотя по существу представляет собой теорию тяготения. Аппарат этой теории сложнее использованного в настоящей книге, и разработку ее нельзя в настоящее время считать завершенной.