§ 4. Прямое центральное соударение двух тел

Постановка задачи

Рассмотрим применение общих уравнений предыдущих параграфов к частному случаю соударения двух тел. Пусть два тела, имеющие массы и обладающие абсолютно гладкими

поверхностями, движутся поступательно со скоростями параллельными прямой, соединяющей центры массы этих тел. Пусть в некоторый момент происходит удар в результате соприкосновения тел в точке А (рис. 135), в которой общая нормаль к поверхностям тел проходит через центры масс тел. Описанный удар носит название прямого центрального соударения двух тел.

Рис. 135

Определим движение после удара. Для первого тела массы внешним ударным импульсом является реакция второго тела, которая проходит через центр масс первого тела. Следовательно, если до удара тело двигалось поступательно, то и после удара оно будет двигаться поступательно, так как отсутствует момент ударного импульса вокруг центра масс первого тела. Так как внешним ударным импульсом второго тела массы будет реакция первого тела, которая проходит через центр масс второго тела, то после удара второе тело также будет двигаться поступательно. Таким образом, задача сводится к нахождению поступательных послеударных скоростей

Решение задачи

Если рассматривать тела массы и как одну систему, то внешние ударные импульсы в рассматриваемой задаче отсутствуют, следовательно, количество движения системы до и после удара остается неизменным

Вторым уравнением для определения послеударных скоростей тел служит гипотеза Ньртона, которую для рассматриваемого случая запишем в виде:

где — коэффициент восстановления.

Два последних уравнения полностью решают поставленную задачу.

Предположим, что столкновение тел будет абсолютно неупругим, тогда коэффициент восстановления равен нулю и из последних соотношений следует, что

В частном случае, если тело массы до удара было в покое или то предыдущая формула имеет вид:

Изменение кинетической энергии соударяющихся тел

Кинетическая энергия системы до соударения тел, которую обозначим через для рассматриваемого частного случая, будет:

После столкновения кинетическая энергия тел в рассматриваемом случае будет:

Отсюда разность кинетической энергии системы до и после удара будет:

Таким образом, при ударе происходит потеря кинетической энергии системы.

Рассмотренный случай можно применить к обработке молотом, имеющим массу детали массой При этом потеря кинетической энергии до и после удара измеряет работу, затраченную на обработку металла, поэтому множитель называется коэффициентом полезного действия молота, который будет тем больше, чем меньше масса молота. Однако значительное уменьшение массы молота нецелесообразно, так как при этом будет мало а следовательно, мала и производимая работа, несмотря на большой коэффициент полезного действия молота.

Удар как внезапное наложение связи

Приведенные в настоящей главе примеры удара (удар точки о поверхность, соударение двух тел) можно рассматривать как возникающие в результате наложения связи. Причем здесь следует различать два случая. Во-первых, связи, наложенные в некоторый момент, могут существовать только в течение ничтожно малого промежутка времени. Такие связи называются мгновенными. Примером такого удара служит столкновение точки с неподвижной поверхностью, от которой она отскакивает. Во-вторых, связи, наложенные

в некоторый момент, могут оставаться в течение последующего движения системы после окончания удара. Такие связи называются длительными. Примером удара, возникающего от наложения длительной связи, может служить абсолютно неупругий удар, так как в этом случае после окончания удара скорости тел оказываются равными, и поэтому тела остаются соприкасающимися друг с другом, и в этом соприкосновении состоит новая связь, наложенная на систему тел в начале удара.

При возникновении удара в результате наложения длительной связи разность скоростей отдельных точек системы до и после удара носит название потерянной при ударе скоростью. Обозначая ее через и, имеем

Понятие о формуле Карно

Введем потерянные скорости в формулу изменения кинетической энергии при прямом центральном соударении двух тел, рассмотренных в этой главе.

Введение потерянных скоростей в этом примере правомочно, так как формула выведена в предположении абсолютно неупругого удара. Так как движение тел поступательное и направления скоростей тел системы до и после удара параллельны, то потерянная скорость первого тела будет

Потерянная скорость второго тела

так как второе тело до удара было неподвижно.

Непосредственные вычисления указывают, что потерю кинетической энергии системы можно записать в виде:

или

Последнее равенство составляет содержание формулы Карно, которая показывает, что при ударе от наложения длительной связи происходит потеря кинетической энергии системы, формально равная значению той энергии, которую она имела бы при движении точек системы с потерянными скоростями.

Доказанная нами для частного случая эта формула справедлива и в общем случае удара, когда он вызван внезапным наложением длительной связи при условии, что эта связь абсолютно гладкая.