3. Первые интегралы канонических уравнений

Определение первых интегралов

Первым интегралом канонических уравнений движения называется такая функция зависящая от обобщенных координат обобщенных импульсов и времени которая остается постоянной в любой момент времени, при любых начальных условиях, если обобщенные координаты и обобщенные импульсы удовлетворяют каноническим уравнениям.

Итак, первые интегралы могут быть записаны в виде:

Если известны независимых первых интегралов уравнений движения, то, вообще говоря, из них можно определить как функции времени произвольных постоянных или

Полученные таким образом соотношения удовлетворяют каноническим уравнениям движения, и, следовательно, канонические уравнения проинтегрированы, так как найдены обобщенные координаты и обобщенные импульсы, удовлетворяющие уравнениям и зависящие от t и произвольных постоянных.

Таким образом, задача об интегрировании канонических уравнений сводится к отысканию первых интегралов этих уравнений. В некоторых частных случаях можно указать непосредственно первые интегралы канонических уравнений.

Интеграл энергии

Как указывалось ранее, в случае, когда функция Н не зависит явно от времени, имеет место равенство:

которое представляет собой первый интеграл уравнений Лагранжа второго рода.

Если в последнем равенстве перейти от обобщенных скоростей к обобщенным импульсам, то последнее равенство будет интегралом канонических уравнений движения. В последнем легко убедиться непосредственной проверкой. Действительно:

При удовлетворяющих каноническим уравнениям (22.4), имеем:

или

есть первый интеграл канонических уравнений. Если система консервативна, то, как показано раньше, функция равна полной механической энергии системы и последний интеграл представляет собой интеграл энергии.

Циклические интегралы

Пусть есть циклическая координата, тогда имеет вид:

Но, так как то не входит в функцию Гамильтона Н, следовательно,

и из канонических уравнений имеем:

или

Последнее выражение является первым интегралом, который называется циклическим.

Из циклических интегралов следует, что для циклических координат соответствующий обобщенный импульс постоянен.

Предположим, что все обобщенные координаты циклические, тогда

и существует первых циклических интегралов вида:

Пусть одновременно связи, наложенные на систему стационарны, тогда имеет место интеграл энергии системы вида:

Другая группа канонических уравнений в этом случае будет вида:

где представляют собой некоторые постоянные величины. Из последнего равенства имеем:

где — произвольные постоянные. Итак, если все координаты будут циклическими и связи, наложенные на систему, стационарными, то канонические уравнения движения интегрируются. Обобщенные координаты в этом случае будут линейными функциями времени.

Полученные результаты указывают, что непосредственное интегрирование уравнений движения дает возможность заменить переменные новыми переменными чтобы последние все были циклическими. Следует указать, что такие преобразования не найдены, хотя и существуют.