§ 4. Определение уравнения движения точки по заданной силе

Класс движений точки

Основная задача динамики заключается в определении уравнения движения материальной точки в конечной форме:

при заданной силе действующей на точку. Иначе говоря, задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения движения точки, которое коротко может быть записано в виде:

Так как это векторное дифференциальное уравнение второго порядка, то его общий интеграл будет зависеть от двух векторных произвольных постоянных, обозначая которые через и общий интеграл уравнения движения запишем в виде:

Отсюда можно заключить, что заданная сила действующая на точку, определяет не одно, а бесчисленное множество уравнений движения точки, т. е. целый класс движений. Поэтому задание силы недостаточно для определения конкретного уравнения движения точки.

Начальные условия

Физический смысл такой неопределенности заключается в том, что движения, происходящие под действием одной и той же силы и, следовательно, описываемые одним и тем же дифференциальным

уравнением, будут различными в зависимости от начального положения и начальной скорости точки. Однако, если в какой-либо момент времени известны положения точки и ее скорость, то дальнейшее движение точки полностью определяется действующей на нее силой. Действительно, пусть в некоторый момент положение точки определяется вектором а скорость ее — вектором тогда общий интеграл уравнения движения и производная от него по времени должны удовлетворяться при

Из последних векторных уравнений можно определить векторы как функции

Подставляя их в общий интеграл, получим:

Итак, мы получили частный интеграл дифференциального уравнения, определяющий закон движения точки при заданных значениях для момента времени Последние дополнительные условия называются начальными условиями.

Следовательно, уравнение движения точки можно определить, если задана сила, действующая на нее, и начальные условия.

Если пользоваться скалярными дифференциальными уравнениями движения, представляющими проекцию векторного уравнения на декартовы оси координат, то при интегрировании их появится шесть произвольных скалярных постоянных. Для их определения служат шесть начальных условий, эквивалентных двум векторным начальным условиям, которые заключаются в том, что задаются для момента времени координаты точки и проекции скорости точки

Первые интегралы уравнений движения

Интегрирование дифференциальных уравнений движения далеко не всегда может быть доведено до получения общего интеграла. Иногда, однако, удается получить первый интеграл уравнения. Первым векторным интегралом уравнения движения называется зависимость вида:

не содержащая и тождественно удовлетворяющаяся при любом отвечающем исходному дифференциальному уравнению. При этом каждой функции удовлетворяющей уравнению движения, соответствует определенная постоянная

Если известен первый интеграл уравнений движения, то решение задачи облегчается, так как при этом исходное уравнение второго порядка можно свести к уравнению первого порядка. Действительно, разрешая последнее соотношение относительно получаем:

и, интегрируя это уравнение, находим общий интеграл

Если каким-либо способом удалось найти два независимых первых интеграла векторного уравнения движения, то общий интеграл может быть получен без решения уравнения движения.

Пусть, например, известны два независимых первых интеграла

Тогда, исключив из этих векторных соотношений скорость придем к соотношению:

из которого получим:

Следовательно, два независимых векторных первых интеграла уравнения движения позволяют найти его общий интеграл при помощи чисто алгебраических операций. Если дифференциальные уравнения движения заданы в скалярной форме, то три независимых первых интеграла позволяют свести систему уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка. Знание шести таких интегралов освобождает нас от необходимости дальнейшего интегрирования.