§ 3. Число степеней свободы системы. Обобщенные координаты уравнения движения системы, обобщенные скорости

Число степеней свободы системы

Как указывалось, положение точек механической системы в пространстве определяется координатами. Однако, если на систему наложено а геометрических связей, то эти координаты связаны а соотношениями. Следовательно, число независимых координат будет оно носит название числа степеней свободы системы, обозначается (или Например, точка, находящаяся на какой-либо поверхности, имеет две степени свободы так как она определяется тремя координатами и на нее наложена связь, которая определяется одним уравнением поверхности

Обобщенные координаты

Пусть на механическую систему, состоящую из материальных точек, наложено а конечных неосвобождающих связей, уравнения которых имеют вид (2.2). Из этих уравнений а каких-либо координат можно определить через остальные координат.

Последние могут быть выбраны совершенно произвольно. Обозначим их через Тогда все координаты, определяющие положение системы, можно записать в виде:

Определяя положения точек системы радиусами-векторами последние соотношения в векторной форме запишем в виде:

Если подставить в уравнения связей выражения координат системы через то они обратятся в тождества для любого момента времени.

Предположим теперь, что выражены через новых переменных

Подставляя в соотношения (2.7) и далее в уравнения связи, получим тождества относительно новых переменных

Таким образом, параметры могут выбираться различным образом. С физической точки зрения эти параметры могут представлять собой линейные величины, являться углами, площадями и т. д.

Следовательно, под значениями в уравнениях (2.7) следует понимать любые независимые параметры, зависящие от времени, которые полностью определяют положение системы. Эти параметры носят название обобщенных координат. Число обобщенных координат для механических систем, на которые наложены конечные связи, равняется числу степеней свободы системы.

Ранее введенное понятие обобщенных координат точки (стр. 37) является частным случаем приведенного более общего понятия обобщенных координат связных систем.

Обобщенная координата математического маятника

В качестве примера рассмотрим математический маятник. Под последним понимается материальная точка, на которую наложены следующие связи: точка находится на плоскости, выбирая в качестве последней плоскость уравнение этой связи запишем в виде:

и точка находится на неизменном расстоянии например, от начала координат (траектория точки представляет собой дугу окружности). Уравнение этой связи запишем в виде:

Система (одна точка) определяется тремя координатами на которые наложены две связи (рис. 28). Следовательно, математический маятник имеет одну степень свободы.

В качестве обобщенной координаты можно выбрать координату х, тогда:

Целесообразнее, однако, в качестве обобщенной координаты математического маятника выбрать угол отклонения маятника от оси х (рис. 28), тогда:

Рис. 28

В качестве обобщенной координаты можно также выбрать площадь треугольника, образованного прямой и перпендикуляром, опущенным из точки на ось х (рис. 28). Тогда через обобщенную координату выразим в виде:

Обобщенную координату для математического маятника можно выбрать и еще каким-либо образом.

Непосредственной проверкой убедимся, что уравнения связей тождественно удовлетворяются для всех указанных обобщенных координат математического маятника.

Размерность обобщенной координаты

Из приведенного примера ясно, что размерность обобщенной координаты зависит от ее выбора и может быть какой угодно. Обычно обобщенные координаты выбираются так, что бы выражения, определяющие координаты точек системы, имели наиболее простой вид.

В математическом маятнике удобнее всего выбрать в качестве обобщенной координаты угол между и осью х.

Уравнения движения системы

Из предыдущего следует, что положение механических систем полностью определяется обобщенными координатами, число которых равно числу степеней свободы системы. Отсюда движение системы определяется заданием обобщенных координат в функции времени или заданием соотношений:

которые носят название уравнения движения голономных механических систем в конечном виде. Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Движение точки в s-мерном подвижном пространстве

Понятие обобщенных координат было введено ранее при рассмотрении движения точки, причем обобщенные координаты тогда имели смысл криволинейных координат точки трехмерного пространства. Записывая радиус-вектор точки в виде

можно интерпретировать последнее равенство как выражение радиуса-вектора точки через криволинейные координаты -мерного подвижного пространства.

Обобщенные скорости системы

Обобщенными скоростями системы материальных точек, обладающих степенями свободы, называются производные по времени от обобщенных скоростей:

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности выбранной обобщенной координаты.

Так как радиус-вектор точки системы через обобщенные координаты записывается в виде:

то вектор скорости точки будет:

или

Полученная формула дает зависимость вектора скорости точки системы от обобщенных скоростей системы.