§ 3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Уравнение движения
Вторым простейшим случаем движения твердого тела является его вращение вокруг неподвижной оси. Если поместить начало подвижной системы координат в какой-либо точке оси вращения тела и расположить ось 
вдоль этой оси, то при движении тела
изменяется только один угол 
собственного вращения тела (рис. 32). Следовательно,
и уравнение движения тела запишется так:
Из сказанного следует, что тело обладает одной степенью свободы.
Обобщенная координата тела 
и обобщенная скорость 
Рис. 32
Алгебраическая скорость точек тела
Все точки твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси остаются на одном и том же расстоянии от оси. Следовательно, траектории всех точек будут окружности, плоскость которых перпендикулярна оси вращения и центры их расположены на оси вращения (рис. 32). В равные промежутки времени 
различные точки тела будут описывать дуги различных окружностей, соответствующих одним и тем же центральным углам 
Алгебраическая скорость при этом равна
Обозначая через R радиус траектории какой-либо точки М и через 
угол, отсчитываемый от начального положения точки, закон движения точки по траектории запишем в виде:
Отсюда приращение дуги 
за время 
запишется в виде:
и скорость точки М определится по формуле: 
Величина будет одинакова для всех точек тела. Она называется угловой скоростью тела и обозначается 
где 
— является обобщенной скоростью тела.
Скорость точек тела через со запишется в виде:
и будет направлена по касательной к окружности в сторону изменения угла 
Угол 
будем считать положительным, при отсчете его в направлении против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси вращения.
Таким образом, знак со характеризует направление вращения тела.
Вектор угловой скорости. Вектор скорости
Величину со удобно рассматривать как вектор, направленный по оси вращения тела; модуль его будем считать равным абсолютной величине угловой скорости и направим его так, чтобы, смотря с его конца, видеть тело вращающимся против часовой стрелки.
Используя понятие вектора угловой скорости со, можно записать:
или (рис. 32)
где 
— скорость точки, определяемой радиусом-вектором 
Действительно, модуль векторного произведения со 
равен 
и расположение его в пространстве перпендикулярно векторам со и 
и направлено в сторону вращения тела.
В качестве точки 
можно взять любую точку на оси вращения. Поэтому вектор со может быть приложен в любой точке линии ее действия, следовательно, это скользящий вектор, направленный вдоль оси вращения тела.
Проекции вектора скорости на оси
Найдем проекции вектора 
на оси системы координат х, у, z. Пусть проекции вектора 
на эти оси равны 
проекции 
будут 
и проекции 
Тогда:
Формулы (3.2), (3.2) и 
называются формулами Эйлера.
Число оборотов
В практике часто приходится встречаться с равномерным вращением вокруг неподвижных осей отдельных частей механизмов, например валов машин, всевозможных колес и т.д. При этом
скороста вращения деталей обычно характеризуют числом оборотов 
которые они делают в минуту; 
проето связано с угловой скоротью 
Действительно, при скорости вращения 
оборотов в минуту тело за одну минуту поворачивается на угол 
Следовательно:
или
Заметим, что при произвольном движении тела возможны такие случаи, когда в отдельные моменты времени тело движется так, что скорости точек, расположенных по некоторой прямой, равны нулю. Тогда говорят, что тело находится в эти моменты в мгновенно вращательном движении.
