§ 4. Резонанс
Движение точки под действием упругой и возмущающей силы
Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, на которую действует упругая сила и возмущающая сила, меняющаяся по гармоническому закону. Уравнение движения точки при
этом имеет вид:
или, вводя обозначения
имеем:
Используя результаты предыдущих параграфов, решение этого уравнения запишем в виде:
Заметим, что частное решение неоднородного уравнения движения рассматриваемой задачи получается из частного решения уравнения предыдущего параграфа, если в нем положить 
Постоянные интегрирования 
определяются из начальных условий.
Резонанс
Рассмотрим частный случай, когда частота собственного колебания точки 
равна частоте вынуждающей силы 
В этом случае уравнение движения точки имеет вид:
и частное решение этого уравнения, найденное ранее, потеряет смысл, так как оно обращается в бесконечность.
В рассматриваемом случае частное решение уравнения движения будем искать в виде:
где С — постоянная, подлежащая определению. Так как
то, подставляя x в уравнение движения, имеем:
Отсюда
Следовательно, общий интеграл уравнения движения имеет вид:
где 
— постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Задавая последние в виде: при 
определим через них 
тогда
Рассмотренное движение точки существенно отличается от ранее изученных, так как раньше функция 
была ограниченной, а сейчас х может при достаточно большом t стать сколь угодно большой, потому что в последнее слагаемое входит множитель t. Это явление носит название резонанса.
Резонанс возникает при совпадении частот свободных колебаний точки с частотой возмущающей силы. Так как амплитуда колебаний становится при этом сколь угодно большой, то резонанс вызывает разрушение механической системы, если при увеличении амплитуды колебаний не возникают какие-либо добавочные силы, приводящие к уменьшению амплитуды колебаний.
Заключение
Подводя итоги настоящей главы, констатируем, что прямолинейное колебательное движение материальной точки около положения равновесия вызывается упругой силой. Эти колебания затухают под действием сопротивления среды и при наличии сопротивления поддерживаются возмущающей периодической по времени силой. При частном виде возмущающей силы она вызывает неограниченно возрастающее по амплитуде колебание точки (явление резонанса).
