§ 2. Канонические уравнения Гамильтона
Преобразование Лежандра
Ранее указывалось, что функция Н, представляющая полную механическую энергию системы, в случае стационарных связей, наложенных на голономные системы, обладающие потенциальными силами, в общем случае является обобщением этого понятия. Благодаря этому целесообразно это важное понятие ввести в явном виде в уравнения движения. Последнее автоматически выполняется, если воспользоваться операцией, известной в математике под названием преобразования Лежандра. Эта операция позволяет перейти от переменных 
к переменным 
Заключается она в следующем: рассмотрим какую-либо функцию многих переменных, в нашем случае 
Дифференциал этой функции будет иметь вид:
Заметим, что
Перейдем от переменных 
к переменным 
, следовательно, от дифференциалов 
к дифференциалам 
. Введем функцию 
зависящую от 
тогда
Но 
, кроме того, определяется равенством:
Следовательно:
или подставляя 
и производя соответствующие сокращения, имеем:
где 
и являются функциями переменных 
Приравнивая два найденных выражения для Н и учитывая, что 
— независимые переменные, имеем:
и
где Н, зависящая от 
называется функцией Гамильтона.
Канонические уравнения Гамильтона
Полученные равенства
называются каноническими уравнениями Гамильтона. Они представляют собой систему 
дифференциальных уравнений первого порядка, служащую для определения обобщенных координат и обобщенных импульсов как функций времени и 
произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий.
Канонические уравнения применимы для голономных систем, с идеальными связями, на которые действуют силы, обладающие силовой функцией (
или М). Для составления этих уравнений нужно выписать функцию Лагранжа и определить при ее помощи обобщенные импульсы. Далее, необходимо написать функцию Гамильтона, при помощи которой и составляются канонические уравнения движения.
Характеристическая функция Гамильтона
Функция Гамильтона в канонических уравнениях играет роль, подобную функции Лагранжа в уравнениях Лагранжа второго рода. Задание функции Я равносильно постановке физической задачи или заданию механической системы в определенных условиях
движения. Таким образом, функция Гамильтона является характеристической функцией механической задачи.
