§ 4. Вращение тела около неподвижной точки. Теорема Даламбера

Упрощение задачи

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной точки. Это движение можно свести к рассмотрению движения двух точек, находящихся на неизменном расстоянии по поверхности сферы. Действительно, из неподвижной точки тела, как из центра, проведем сферу произвольного радиуса, пересекающую тело. Движение полученного сечения по поверхности сферы полностью определит рассматриваемое движение тела (рис. 33). Проведем в сечении тела дугу большого круга, соединяющую две какие-либо точки А и В. Тогда движение дуги по поверхности сферы полностью опишет движение всего сечения или движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Но дуга определяется двумя точками, находящимися на неизменном расстоянии. Следовательно, окончательно движение твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к рассмотрению движения двух точек, находящихся на неизменном расстоянии по поверхности сферы.

Рис. 33

Теорема Даламбера

Геометрическое изучение характера движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, приводит к теореме Даламбера, которая гласит: перемещение тела, имеющего неподвижную точку

из одного положения в другое, можно осуществить поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Докажем ее, рассматривая движение двух точек, находящихся на неизменном расстоянии по поверхности сферы. Предположим, что в результате перемещения тела за время некоторая точка А переместилась по сфере в положение В (рис. 34). В то же самое время точка, которая находилась в положении В, заняла новое положение С. Плоскость пересекает неподвижную сферу по окружности (малого или в частном случае большого круга). Если D один из полюсов этого круга на сфере, то равнобедренные сферические треугольники равны. Действительно, дуги АВ равны, так как они являются двумя положениями одной и той же дуги сферы которые равны по построению. Следовательно, дуга АВ может быть совмещена с дугой при помощи вращения вокруг оси на угол Таким образом, теорема Даламбера доказана.

Рис. 34

Мгновенная ось вращения тела

Рассмотрим два бесконечно близких положения тела бесконечно мало). Из теоремы Даламбера следует, что тело из одного положения в другое бесконечно близкое можно перевести вращением вокруг оси, которая проходит через неподвижную точку тела. Для каждого момента времени будет своя ось. Следовательно, эта ось непрерывно изменяет свое расположение в пространстве. Она называется мгновенной осью вращения тела.

Распределение скоростей в теле

Углы поворота тела за время около мгновенных осей вращения будут различны. Переходя к пределу, можно убедиться, что будут различны и угловые скорости вращения в различные моменты. Они называются мгновенной угловой скоростью. Введем вектор мгновенной угловой скорости, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Тогда, используя формулу Эйлера, скорость любой точки тела можно записать в виде:

где — радиус-вектор, проведенный из неподвижной точки тела в точку, скорость которой определяется. Заметим, что в последней формуле вектор угловой скорости тела меняет в течение времени и направление, и свою величину.

Обобщенные координаты тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, полностью определяется тремя углами Эйлера . Тело имеет три степени свободы. Связь вектора скорости любой точки с обобщенными скоростями будет указана для этого случая позднее (см. главу 16, § 1).

Однако сведение вращения тела вокруг неподвижной точки в каждый данный момент к вращению вокруг мгновенной оси при помощи теоремы Даламбера дает возможность выбрать другие обобщенные координаты тела. Действительно, в качестве обобщенных координат могут быть выбраны два угла определяющих положение мгновенной оси (третий угол у определяется из условия и угол поворота тела вокруг мгновенной оси.

Подвижной и неподвижной аксоиды

Геометрическое место мгновенных осей вращения твердого тела (имеющего неподвижную точку), отмеченных в неподвижной системе координат, представляет собой коническую поверхность, которая носит название неподвижного аксоида (рис. 35).

Рис. 35

Геометрическое место мгновенных осей вращения, отмеченных в движущемся теле или по отношению к подвижному пространству, представляет собой также коническую поверхность, которая носит название подвижного аксоида (рис. 35).

Мгновенная ось вращения принадлежит как подвижному, так и неподвижному аксоиду. В каждый данный момент времени общая образующая аксоидов будет мгновенной осью вращения, а следовательно, вдоль нее скорость тела равна нулю, что характерно для качения без скольжения. Таким образом, в процессе вращения тела около неподвижной точки подвижной аксоид катится без скольжения по неподвижному (рис. 35).