§ 5. Центр тяжести и центр масс

Система сил тяжести

В настоящем параграфе рассмотрим подробно частный случай системы собственно параллельных сил. Именно, всякое материальное тело или система материальных точек (дискретных частиц), находящихся на Земле, подвержены действию земного притяжения. Поэтому на каждую частицу таких механических систем действует сила ее тяжести. Строго говоря, все эти силы направлены в одну точку к центру Земли. Но так как размеры земных тел весьма малы по сравнению с радиусом Земли (полагаем, что также малы обьемы, в которых заключены дискретные частицы), то с большой степенью точности эти силы можно считать параллельными. Приведению этой системы сил и посвящен параграф.

Удельный вес

Выделим в теле элементарную частицу объемом столь малую, что ее положение можно определить одним радиусом-вектором Пусть вес этой частицы будет Величина

называется удельным весом, а величина

— плотностью тела.

В системе единиц СИ удельный вес имеет размерность

а плотность

В общем случае удельный вес и плотность являются функциями координат точек тела. Если они для всех точек одинаковые, то тело называется однородным.

Равнодействующая всех элементарных сил тяжести равна их сумме и представляет собой вес тела. Центр этих параллельных сил называется центром тяжести тела.

Очевидно, положение центра тяжести в теле не зависит от ориентации тела в пространстве. Это утверждение вытекает из сделанного ранее замечания о том, что центр параллельных сил не изменяет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.

Формулы, определяющие центры тяжести тела и системы дискретных частиц

Для определения центра тяжести тела разобьем его на достаточно малые частицы объемом . К каждой из них приложим силу тяжести равную

Равнодействующая этих параллельных сил равна весу тела, который обозначим через

Радиус-вектор центра тяжести тела, который обозначим через , определится по формулам предыдущего параграфа как центр параллельных сил. Таким образом, будем иметь

Если определяется центр тяжести системы дискретных частиц, то будет удельный вес частицы, V, — ее объем — радиус-вектор, определяющий положение частицы. Последняя формула определяет в этом случае центр масс системы дискретных частиц.

Если механическая система представляет собой тело, образованное непрерывной совокупностью частиц, то в пределе суммы последних формул обращаются в интегралы и радиус-вектор центра тяжести тела может быть вычислен по формуле:

где интегралы распространяются по всему объему тела.

Если тело однородно то последняя формула имеет вид:

где V — объем всего тела.

Таким образом, когда тело однородно, определение его центра тяжести сводится к чисто геометрической задаче. В этом случае говорят о центре тяжести объема.

Центр масс тела

Введенное понятие центра тяжести имеет смысл лишь для тел (малых по сравнению с размерами Земли), находящихся вблизи поверхности Земли. Вместе с тем, метод вычисления координат центра тяжести позволяет применить его для вычисления координат точки, характеризующей распределение материи в теле. Для этого следует рассматривать не вес частиц, а их массу. Каждая частица тела объемом имеет массу

а заменяя в ранее полученной формуле на придем к равенству:

которое определяет точку, носящую название центра масс или центра инерции тела.

Если система состоит из материальных точек, массы которых то центр масс системы находится по формуле:

где представляет собой массу всей системы. Радиус-вектор центра масс тела зависит от выбора начала координат О. Если в качестве начала координат выбрать сам центр инерции, то будет равен нулю:

Понятие центра масс может быть введено независимо от понятия центра тяжести. Благодаря этому оно относится к любым механическим системам.

Статические моменты

Выражения называются соответственно статическими моментами веса, объема и массы тела относительно точки О. Если в качестве точки (начало координат) выбрать центр масс тела, то статические моменты тела относительно центра масс окажутся равными нулю, что будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

Методы вычисления центра масс

В случае тела сложной формы определение координат центра масс по приведенным общим формулам обычно сопряжено с кропотливыми вычислениями. В ряде случаев их можно значительно упростить, если воспользоваться следующими методами.

1) Метод симметрии. Пусть тело имеет центр материальной симметрии. Это значит, что каждой частице с массой и радиусом-вектором проведенного из этого центра, соответствует частица с такой же массой и радиусом-вектором . В этом случае статический момент массы тела обратится в нуль и

Следовательно, центр масс будет совпадать в этом случае с центром материальной симметрии тела. Для однородных тел это означает, что центр масс совпадает с геометрическим центром объема тела. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то центр масс находится в этой плоскости. Если же тело симметрично относительно оси, то центр масс находится на этой оси.

2) Метод разбиения на части. Если тело можно разбить на конечное число частей, массы и положения центров масс которых известны, то центр масс всего тела найдем следующим образом: представим себе, что массы этих частей сосредоточены в их центрах масс, тогда тело приводится к конечному числу материальных точек. Центр масс системы материальных точек просто вычисляется по приведенным формулам.

3) Метод отрицательных масс. Пусть однородное тело массы имеет отверстий и центр масс его определяется радиусом-вектором Если заполнить эти отверстия тел веществом, из которого состоит тело, то они будут иметь определенные массы и центры масс. Массы этих заполненных отверстий будут равны а радиусы-векторы их центров масс Тогда центр масс тела с заполненными отверстиями будет определяться радиусом-вектором

где М — масса тела с заполненными отверстиями. Отсюда

Но следовательно,

Полученная формула указывает на следующий метод определения центра масс тела с отверстиями. Мысленно заполняют отверстия веществом, из которого состоит тело. Затем находят массу и центр масс полученного таким путем тела, а также массы и центры масс вещества, заполняющего отверстия, и приписывают этим массам знак минус. После этого центр масс рассматриваемого тела можно вычислить посредством метода разбиения.