§ 4. Задача двух тел

Поставка задачи двух тел

Используем формулу Бинэ для решения задачи, обратной той, которая рассмотрена в предыдущем параграфе. Именно рассмотрим две точки с массами . Под этими точками будем подразумевать Солнце и планету. На основании закона всемирного тяготения эти точки взаимно притягиваются с силои

Влиянием остальных точек (планет спутников и т. д.) мирового пространства будем пренебрегать. Определим, каково будет движение точки Р — планеты.

Поставленная проблема носит название задачи двух тел.

Уравнение движения точки

Выберем некоторую основную систему осей координат и рассмотрим движущуюся поступательно относительно основной системы подвижную систему начало которой все время находится в точке (рис. 68). Силу, с которой планета действует на Солнце, обозначим через и силу, с которой Солнце действует на планету, обозначим через Уравнение относительного движения точки Р в этом случае запишем в виде:

где — относительное ускорение точки Р и переносное ускорение системы равное абсолютному ускорению точки

Заметим, что сила Кориолиса в данном случае отсутствует, так как подвижная система координат движется поступательно. Абсолютное ускорение точки определяется равенством:

Следовательно, уравнение относительного движения точки Р запишется в виде:

Рис. 68

Это уравнение описывает относительное движение точки Р, находящейся под действием центральной силы, линия действия которой проходит через точку Следовательно, движение будет плоским и первый интеграл его (закон площадей) запишется в виде:

где полярные координаты точки в плоскости относительного движения. Далее, так как сила

является центральной притягивающей, то из формулы Бинэ имеем:

и так как

то будем иметь:

Закон площадей и последнее уравнение определяют как функции времени и четырех произвольных постоянных.

Последнее уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл его имеет вид:

Взодя обозначения:

где — существенно положительная величина, окончательно получим

Это уравнение представляет собой любую кривую второго порядка. Если то это будет эллипс, если окружность, если будем иметь параболу и если то записанное уравнение представляет собой гиперболу. Таким образом, вид траектории, по которой будет двигаться рассматриваемая точка, зависит от произвольных постоянных. Последние определяются, как указывалось ранее, из начальных условий.

Начальные условия и определение произвольных постоянных

Выберем полярную систему координат так, чтобы полярная ось проходила через вершину кривой второго порядка. Тогда кривая второго порядка будет симметрична относительно полярной оси, и, следовательно, величина не будет в этом случае изменяться при замене угла на Это возможно при условии, если Таким образом, постоянная не определяет вида кривой, а определяет лишь ее расположение относительно полярной оси.

Итак, выбрав указанным образом полярную ось, имеем:

Для определения остальных постоянных зададим начальные условия в виде: пусть при точка находится в вершине кривой второго порядка, т. е. Начальная скорость точки пусть будет равна Так как скорость точки направлена по касательной к ее траектории, то в вершине кривой второго порядка вектор скорости будет перпендикулярен радиусу-вектору

Следовательно, при радиальная составляющая скорости равна нулю, а перпендикулярная ей (трансверсальная) составляющая будет равна

Из закона площадей имеем:

Таким образом, постоянная площадей с определена через начальные условия. Отсюда параметр рассматриваемой кривой равен:

Далее, так как при радиус то имеем:

Отсюда

Следовательно, уравнение траектории окончательно запишем в виде:

Влияние начальной скорости точки на ее траекторию

Исследуем теперь влияние начальной скорости точки на ее траекторию.

Пусть

В этом случае эксцентриситет равен нулю и траектория точки будет окружность с радиусом и центром в точке (рис. 69, 1) Если теперь

тогда эксцентриситет будет больше нуля, но меньше единицы, и траектория точки представляет эллипс, левый фокус которого совпадает с 5 (рис. 69, 2).

Пусть, далее

Тогда и траектория точки будет эллипс, причем S будет находиться в правом фокусе (рис. 69, 3).

Если начальная скорость окажется равной

то и уравнение траектории будет вида

что соответствует параболе (рис. 69,4).

Рис. 69

При эксцентриситет стремится к единице, а параметр к нулю. В этом случае эллипс вырождается в прямую.

Наконец, если

то будет отрицательным и абсолютная величина его больше единицы. В этом случае точка будет двигаться по ветви гиперболы (рис. 69, 5).

Приведенные исследования указывают, что, изучая движение какого-либо тела относительно Солнца и пренебрегая при этом влиянием остальных небесных тел, в зависимости от начальных условий будет иметь место движение по эллипсу (планеты солнечной системы), либо движение по параболической или гиперболической траектории. Два последних случая, по-видимому, имеют место при движении некоторых комет.

Уравнения движения точки

Уравнения движения точки, находящейся под действием центральной силы, представляют собой зависимость от времени. Они могут быть получены из уравнений

Подставляя из первого уравнения во второе уравнение, получим:

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, найдем t как функцию Вместе с первым уравнением это соотношение определяет закон движения точки по траектории.

Уточнение третьего закона Кеплера

Проведенные исследования позволяют уточнить формулировку третьего закона Кеплера. Как ранее было показано, имеет место равенство:

где параметр эллипса, по которому движется планета. Но, как указывалось, этот параметр равен:

Таким образом, получаем:

или

где М — масса Солнца, m — масса планеты. Так как массы планет различны, а величина постоянная, то уточненный закон Кеплера можно записать в виде:

который гласит: отношение куба большой полуоси планеты к произведению квадрата сидерического периода обращения планеты на сумму масс Солнца и планеты — есть величина постоянная.

Уточненный третий закон Кеплера позволяет определять массы Солнца, планет и двойных звезд. Он широко применяется в астрономии.

Применение задачи двух тел к расчету орбитальной скорости искусственного спутника Земли

Формулы настоящего параграфа могут быть применимы для расчета необходимой скорости искусственного спутника Земли, двигающегося в направлении, перпендикулярном к радиусу Земли.

Выбирая в качестве траектории спутника окружность и обозначая через расстояние спутника от поверхности Земли, будем иметь . Так как скорость при движении по окружности равна:

Пренебрегая массой спутника по сравнению с массой Земли М, получаем искомую скорость

Чтобы определить произведение , рассмотрим тело произвольной массы на поверхности Земли. Применяя к нему закон всемирного тяготения, имеем:

где — ускорение свободного падения, R — радиус Земли. Тогда

Таким образом, расчетная скорость движения спутника по орбите определяется из формулы

Отклонение от этой скорости приводит к эллиптичности орбиты.

Период обращения спутника вокруг Земли Т определяется по третьему закону Кеплера. Пренебрегая по-прежнему массой спутника по сравнению с массой Земли М, имеем:

Чтобы космический корабль вышел из сферы притяжения Земли, ему надо задать параболическую скорость определяемую формулой:

Пренебрегая по прежнему по сравнению с М и полагая , найдем: