§ 9. Равновесие произвольной системы сил, действующих на твердое тело

Условия равновесия твердого тела

При рассмотрении различных случаев приведения системы сил, действующих на твердое тело, было доказано (стр. 184), что условия равновесия их будут:

Эти условия будут необходимы и достаточны, так как любые силы, действующие на твердое тело, приводятся к R и М; если последние эквивалентны нулю, то система сил уравновешена. Обратно, если справедливы последние условия, то это значит, что отсутствуют R и М или система сил уравновешена.

Перейдем от этих двух векторных условий к скалярным равенствам.

Выберем какую-нибудь прямоугольную систему координат. Тогда силу и радиус-вектор можно записать через их проекции в виде:

Проектируя теперь векторы R и на оси координат, получим:

где проекции главного вектора на оси координат, проекции главного момента на оси координат.

Эти соотношения выражают условия равновесия произвольной пространственной системы сил: для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси были равны нулю и чтобы сумма моментов всех этих сил относительно осей координат были равны нулю.

Эти же условия необходимы и достаточны для равновесия абсолютно твердого тела, находящегося под действием пространственной системы сил, если в начальный момент тело покоилось.

Уравнения равновесия произвольной системы сил

В выше полученных соотношениях наряду с активными силами могут входить неизвестные силы реакций связей, которые можно из этих соотношений найти. Соотношения, в которые входят неизвестные реакции связей, как уже указывалось, называются уравнениями равновесия. Число таких уравнений не может быть больше шести. Соответственно этому можно найти не более шести неизвестных, определяющих реакции связей.

Соотношения, в которые не входят неизвестные реакции, называются условиями равновесия.

Если число неизвестных, определяющих реакции связей, меньше числа соотношений равновесия, то равновесие возможно только при определенных условиях, связывающих активные силы. Если число неизвестных, определяющих реакции связей, больше числа уравнений равновесия, то неизвестные, определяющие реакции связей, не могут быть найдены из соотношений статики. Такие задачи называются статически неопределимыми и для их разрешения применяются дополнительно законы прикладной механики.

Соотношения равновесия плоской системы сил

Рассмотрим силы, расположенные в одной плоскости, или плоскую систему сил. Расположим координатные оси х и у в плоскости действия сил (рис. 103) и применим к этому случаю шесть соотношений равновесия пространственной системы сил. Первые два из них сохраняются и имеют вид:

а третье обратится в тождество.

Рис. 103

Далее, так как все силы лежат в плоскости то линии их действия либо пересекают оси, либо им параллельны. Поэтому моменты сил плоской системы относительно осей х и у равны нулю. Вследствие этого четвертое и пятое уравнения обратятся в тождества. Наконец, соотношение моментов относительно оси z будет иметь обычный вид:

Таким образом, для плоской системы сил существуют три условия равновесия. Первые два из них выражают требование, чтобы главный вектор системы равнялся нулю, т. е. чтобы система не имела равнодействующей. Третье условие равносильно требованию, чтобы равнялась нулю алгебраическая сумма моментов сил относительно произвольной точки плоскости их действия.

Теорема о трех моментах

Как сказано выше, для равновесия плоской системы сил необходимо выполнение трех соотношений. Однако эти соотношения могут иметь вид иной, чем указан. Например, соотношениям равновесия плоской системы сил можно придать вид, сформулированный в теореме, которая называется теоремой о трех моментах. Она состоит в следующем. Для того, чтобы плоская система сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма моментов сил относительно каждой из трех произвольных точек, не лежащих на одной прямой.

Опираясь на теорему Вариньона, необходимость этих условий следует из того, что при равновесии Системы сил сумма моментов их относительно любой точки равна нулю. Докажем достаточность этих условий. Пусть

где А, В, С — три произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой. Приведем системы сил F к точке А. Согласно условию

главный момент этой системы относительно точки А равен нулю, и поэтому рассматриваемая система сводится к равнодействующей Предположим, что она не равна нулю. Тогда на основании теоремы Вариньона можно написать:

Следовательно, линия действия равнодействующей проходит через точку В. Но из третьего условия следует, что

т. е. линия действия равнодействующей проходит также через точку С. Этого, одиако, не может быть, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. Следовательно, равнодействующая система сил равна нулю, и значит сформулированное выше условие достаточно для равновесия плоской системы.

Соотношения равновесия параллельной системы сил

Рассмотрим систему параллельных сил. Выберем оси координат так, чтобы ось z была параллельна линиям действия этих сил. Тогда проекции сил на оси х и у равны нулю и, следовательно, первые два соотношения равновесия обращаются в тождества. На ось эти силы будут проектироваться в натуральную величину, и третье соотношение равновесия запишется так:

Соотношения моментов относительно осей х и у запишутся в виде:

Шестое соотношение равновесия обращается в тождество, так как осевые моменты всех сил относительно параллельной им оси z равны нулю.

Таким образом, в случае системы параллельных сил имеют место три уравнения равновесия.

Равновесие трех сил

Исследуем равновесие трех сил, приложенных к телу. Если система этих сил уравновешена, то сумма их моментов относительно любой точки должна равняться нулю. В качестве такой точки выберем точку О, лежащую на линии действия силы Тогда момент этой силы относительно точки О будет равен нулю

Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку О. Аналогично момент силы направлен перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку О. Но в силу соотношений равновесия имеет место равенство

которое возможно только в том случае, если моменты коллинеарны.

Следовательно, силы лежат в одной плоскости, а потому и равнодействующая их также лежит в этой плоскости. Но тогда сила уравновешивающая эту равнодействующую, должна находиться в той же плоскости. Таким образом, для равновесия трех сил необходимо, чтобы они находились в одной плоскости.

Предположим, что эти силы не параллельны. Тогда перенесем силы в точку О, в которой пересекаются их линии действия. В этом случае их можно заменить одной равнодействующей

линия действия которой также проходит через точку О. Теперь на тело будут действовать лишь две силы Они могут находиться в равновесии только в том случае, если их линии действия совпадают. Это значит, что все три силы должны сходиться в одной точке. Кроме того, чтобы равнодействующая их равнялась нулю, они должны образовывать замкнутый треугольник. Итак, для равновесия трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы они сходились в одной точке и образовывали замкнутый силовой треугольник.