И. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ГЛАВА 24. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 1. Собственные колебания точки

Вводные замечания

Настоящий раздел посвящен изучению колебательных движений механических систем. Важность этого раздела определяется тем, что такие движения весьма распространены в технике и имеют широкое применение в различных разделах физики. Действительно, колебательные движения совершают мосты, фундаменты машин, корабли и самолеты. В физике теория колебания применяется в акустике, теории молекулярных спектров и при изучении взаимодействующих электрических контуров. Изучение колебаний начнем с изучения прямолинейного колебательного движения материальной точки, так как это движение с качественной стороны выясняет все основные особенности колебаний самых общих материальных систем. Движение материальной точки, как следует из механики систем, описывает поступательное движение твердого тела или движение центра масс произвольной системы материальных точек. Следовательно, эта глава повествует о прямолинейном колебательном движении центра масс механических систем и колебательном движении прямолинейно-поступательно движущегося тела. На последнее обстоятельство следует обратить внимание, когда речь идет о конкретных приложениях развитой далее теории. Сделанное замечание определяет и место этой главы в курсе.

С точки зрения механики в целом эта глава представляет собой приложение общих положений динамики точки к частным задачам механики.

Дифференциальное уравнение движения

Пусть на материальную точку действует упругая сила и движение ее происходит по прямой. Тогда, выбирая начало координат в положении равновесия точки и направляя ось х вдоль прямой, по которой движется точка, запишем дифференциальное уравнение движения точки в виде:

где — всегда положительный коэффициент упругости.

Введем положительный коэффициент.

и перепишем дифференциальное уравнение движения в виде:

Из этого уравнения следует, что две точки будут совершать подобные движения, если они обладают одинаковым отношением коэффициента упругости к массе

Найденное дифференциальное уравнение движения с математической точки зрения представляет собой однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Интегрирование уравнения движения

Интегрируя уравнение движения, запишем соответствующее ему характеристическое уравнение, которое будет вида:

Так как решение этого уравнения дает мнимые корни:

то решение исходного дифференциального уравнения в тригонометрической форме будет записано так:

где — произвольные постоянные.

Преобразуем полученное выражение к новому виду. Для этого введем новые произвольные постоянные А и а, определяемые соотношениями:

Подставляя выражений в предыдущую формулу, найдем уравнение движения точки в конечной форме вида:

Заметим, что рассматриваемое уравнение движения может быть также приведено к виду:

Определение произвольных постоянных

Определим произвольные постоянные А и а из начальных условий, которые зададим в виде: при Из уравнения движения в конечной форме имеем:

Откуда

Гармонические колебания (свободные колебания)

Из найденного уравнения движения следует, что точка совершает периодические колебания, происходящие по синусоидальному (или косинусоидальному) закону. Такие колебания носят название гармонических. Их графическое изображение показано на рис. 138. Величина А называется амплитудой колебаний, называется фазой колебаний. В начальный момент она равна а и называется начальной фазой колебаний.

Рис. 138

Периодом колебаний Т называется время, через которое точка возвращается в исходное положение или фаза колебания изменяется на

Отсюда

Из полученного выражения следует, что период гармонического колебания не зависит от амплитуды. Эта особенность является характерной для гармонического колебания.

Величина, обратная периоду, называется частотой колебания

Она характеризует число колебаний, совершаемых точкой в секунду.

Величина

называется круговой частотой гармонического колебания, она равна числу колебаний, совершаемых точкой в секунд. Как следует из предыдущего, точки, обладающие равной круговой частотой, совершают подобные движения. Благодаря этому коэффициент называется еще собственной частотой. Последнее название подчеркивает, что этот коэффициент присущ самой задаче, а не начальным условиям ее.

Название гармонических колебаний указывает математическую закономерность этих колебаний. В технике рассмотренное колебательное движение материальной точки называется свободным колебанием.

Осциллятор

Тело, совершающее поступательные прямолинейные гармонические колебания, называется одномерным гармоническим вибратором или одномерным осциллятором. Таким образом, закон движения материальной точки, рассмотренный выше, представляет собой закон движения одномерного осциллятора.

Механическая энергия осциллятора

Рассмотренное движение одномерного осциллятора (материальной точки) происходит под действием силы потенциального поля, следовательно, справедлив закон сохранения механической энергии, который запишем в виде:

или, вводя амплитуду колебаний, запишем

Механическое состояние осциллятора

Перепишем закон сохранения механической энергии осциллятора в виде:

Последнее соотношение можно рассматривать как уравнение, определяющее координаты и скорости точек осциллятора при заданных начальных условиях осциллятора или заданной энергии его. Это уравнение может быть изображено графически. На плоскости оно представляет собой семейство эллипсов, зависящее от одного параметра (в качестве которого может быть выбрано А). Полуоси эллипса будут А и эллипс определяет, каковы координаты и скорости, которыми обладает осциллятор.

Задание значений координат и скоростей механической системы в теоретической физике называется заданием механического состояния системы.

Таким образом, кривые, определяемые последним уравнением, есть изображение механического состояния осциллятора.

Траектории, осциллятора в фазовом пространстве

Перепишем закон сохранения энергии в виде:

Тогда можно интерпретировать как обобщенную координату и обобщенный импульс осциллятора (в последнем можно убедиться, формально подсчитав Плоскость будет фазовым пространством осциллятора: и последнее уравнение выражает траекторию осциллятора в фазовом пространстве.

Заключение

В настоящем параграфе на примере осциллятора показывается роль достаточно отвлеченного понятия фазового пространства, которое введено ранее.

Следует заметить, что для того чтобы определить механическое состояние осциллятора или его траекторию в фазовом пространстве, не нужно интегрировать уравнение движения, а достаточно знать только первый интеграл уравнения движения, каким является интеграл энергии. Последнее является весьма существенным, когда не удается проинтегрировать до конца уравнения движения какой-либо системы.