§ 5. Теорема о количестве движения центра инерции системы и примеры ее применения

Определение количества движения системы через скорость движения центра масс

Придадим теореме о количестве движения системы несколько иной вид. Для этого вектор количества движения системы представим через вектор скорости центра масс. Запишем Р в виде:

Но последняя сумма представляет собой статический момент, который, как указывалось, можно записать в виде:

где — радиус-вектор центра инерции системы, — ее масса. Следовательно,

где есть скорость центра инерции системы.

Количество движения механической системы равно количеству движения ее центра инерции, если считать, что в нем сосредоточена вся масса системы.

Теорема о движении центра инерции системы

Обращаясь к теореме о количестве движения системы и используя равенство

имеем

или, используя то, что масса всей системы остается неизменной, запишем

Так как

где — ускорение центра инерции системы, то

Последнее уравнение аналогично второму закону Ньютона. Оно составляет содержание теоремы о движении центра инерции системы, которую сформулируем в виде: центр инерции системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложена сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Эта теорема показывает, что движение центра инерции системы определяется только внешними силами. Если внешние силы зависят только от времени, то интегрирование последнего уравнения сводится к квадратурам, как это показано ранее (см. главу 7, § 6). На существовании первого интеграла, в этом случае, указывают результаты предыдущего параграфа. В общем случае, когда силы зависят от координат точек системы, их скоростей и времени уравнение движения центра инерции системы не может быть проинтегрировано независимо от других уравнений движения системы.

Глубокий общетеоретический смысл теоремы о движении центра инерции системы заключается в том, что, строго говоря, под материальной точкой в механике понимается центр инерции системы и законы Ньютона фактически сформулированы для центра инерции механической системы.

Принцип горизонтального движения ракеты

В качестве примера применения теоремы о движении центра инерции системы рассмотрим движение горизонтально летящей ракеты. Если ракета начинает двигаться из состояния покоя, то центр инерции системы, состоящей из самой ракеты и продуктов ее сгорания, не будет изменять своей горизонтальной координаты, так как горизонтальная проекция сил тяжести, действующих на ракеты, равна нулю. Движение ракеты будет происходить за счет отброса с большой скоростью продуктов сгорания в сторону, обратную движению ракеты. Заметим, что в приведенных рассуждениях не учитывается сопротивление воздуха.

Принцип движения самодвижущихся экипажей

В связи с вопросом о движении центра инерции интересно исследовать силы, вызывающие движение человека, а также различные самодвижущиеся экипажы (автомобиль, тепловоз и т. д.). На первый взгляд может показаться, что возможность движения человека по горизонтальной поверхности противоречит теореме о движении центра инерции. Пусть человек стоит на идеально гладкой горизонтальной поверхности. Единственными внешними силами, приложенными к нему, являются его вес и нормальная реакция земли Но эти силы не дают горизонтальной проекции и поэтому не могут вызвать перемещения центра тяжести человека в горизонтальном направлении. Если посредством мускульного усилия, являющегося внутренней силой, человек выдвинет вперед одну ногу, то другая его нога должна отодвинуться назад, чтобы центр инерции человека остался в покое. Поэтому, находясь на гладкой поверхности, человек действительно не может начать двигаться. Если, однако, поверхность, на которой он стоит, не идеально гладкая, то смещению одной из его ног назад препятствует сила

трения, направленная вперед. Таким образом, единственной внешней силой, делающей возможным передвижение его по горизонтальной поверхности, является сила трения. Мускульное напряжение, развиваемое нами при ходьбе, имеет своей целью вызвать необходимую силу трения.

В связи со сказанным понятно, почему трудно ходить по гладкому льду. Это объясняется малой величиной коэффициента трения о лед, вследствие чего сила трения может оказаться недостаточной, чтобы удержать вторую ногу человека от движения назад.

Сила трения является единственной движущей силой также и для автомобиля, тепловоза и т. д. Установленные на них двигатели вызывают вращение их ведущих колес, а так как колеса касаются земли или рельсов, то при их вращении возникает сила трения, направленная в сторону движения. Если бы этой силы не было, то все силы, возникающие при работе двигателя тепловоза или автомобиля, были бы внутренними и не могли бы вызвать движение центра инерции.

Сила трения тепловоза пропорциональна нормальному давлению его ведущих колес на рельсы. Но так как ее величина должна быть достаточной для преодоления сопротивления состава и сообщения ему нужного ускорения, то для того, чтобы вести тяжелый состав, необходим тяжелый тепловоз. Легкий тепловоз не обеспечит нужной величины силы трения даже, если его мощность будет весьма велика. То же самое будет при малом коэффициенте трения. Например, при обледенении рельсов коэффициент трения резко понижается и возникает так называемое «буксование» колес. Вся мощность двигателя при этом бесполезно тратится на их вращение, не вызывая движения поезда. Если же посыпать рельсы песком и повысить таким образом коэффициент трения, то буксование прекращается и состав начинает двигаться.

Сила трения между ведущими колесами самодвижущихся экипажей является полезной силой, обеспечивающей движение. Сила же трения в ведомых колесах и во всех других элементах является вредной силой, увеличивающей сопротивление, и ее следует по возможности уменьшать.