§ 2. Свободные колебания точки при наличии сопротивления среды

Уравнение движения

Пусть материальная точка движется вдоль оси х под действием упругой силы:

й силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости:

Коэффициенты упругости и сопротивления среды А, будут положительны. Дифференциальное уравнение движения точки будет

или

где — положительные коэффициенты.

Из полученного уравнения следует, что две материальные точки совершают подобные движения, если у них будут одинаковые отношения коэффициента упругости к массе и коэффициента сопротивления среды X к массе точки

С математической точки зрения уравнение движения представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Интегрирование уравнения

Уравнение движения будет иметь характеристическое уравнение вида:

решение которого запишем так:

Остановимся на случае, когда Физически это означает, что силы сопротивления среды малы по сравнению с упругими силами, действующими на точку.

Вводя обозначения:

решение характеристического уравнения запишем в виде:

Так как корни характеристического уравнения комплексны, то решение уравнения движения будет иметь вид:

Определение произвольных постоянных

Зададим начальные условия в виде: при Подставив эти условия в уравнение движения и его производную по времени, равную

найдем два уравнения для определения

Откуда имеем:

Затухающие колебания точки

Уравнение движения точки представляет собой затухающее ко лебание. Множитель играет роль амплитуды этого колебания. Он зависит от начальных условий и уменьшаетсяс течением времени, асимптотически приближаясь к нулю. График Этих колебаний точки представлен на рис. 139; носит название фазы колебания, и а называется начальной фазой колебания. Последняя зависит от начальных условий. Рассмотренное движение точки называется свободными или затухающими колебаниями ее.

Рис. 139

Период затухающих колебаний

Интервал времени между двумя последовательными максимумами или минимумами называется периодом затухающих колебаний. Он может быть определен из уравнения:

или

откуда

Величина также называется круговой частотой колебаний. Период и круговая частота не зависят от начальных условий.

Связь между периодами свободного и собственного колебания точки

Период свободных (затухающих) колебаний точки связан с периодом собственных колебаний формулой:

Если силы сопротивления малы по сравнению с упругими силами, то мало по сравнению с тогда можно записать в виде:

Из этой формулы следует, что сопротивление среды увеличивает период колебаний точки и что это увеличение имеет порядок квадрата малой величины

Логарифмический декремент затухания

Выпишем значения координаты точки для моментов времени:

Имеем:

Значения образуют геометрическую прогрессию, причем

Натуральный логарифм

называется логарифмическим декрементом затухающих колебаний, а — коэффициентом затухания.

С помощью логарифмического декремента можно экспериментально определить коэффициент сопротивления (или ). Делается это следующим образом. Наблюдая колебательные движения точки, измеряют ряд последовательных размахов колебаний ее. Если численные значения размахов составляют геометрическую прогрессию, то это указывает на то, что силы сопротивления пропорциональны первой степени скорости. Измерив период колебания и зная логарифмический декремент, можно по последней формуле определить

Связь периода с логарифмическим декрементом

Рассматриваемые колебания точки обладают той особенностью, что наличие небольшого сопротивления приводит лишь к незначительному увеличению периода колебаний, хотя затухание колебаний происходит при этом весьма интенсивно. Действительно, найдем формулу, связывающую и

Так как

то

и

Пусть, например, сопротивление таково, что каждый последующий размах вдвое меньше предыдущего, т. е. Тогда согласно последней формуле будем иметь = 1,024. Следовательно, период колебаний изменится здесь только на 2,4%. Увеличение же периода на 10%, т. е. значение соответствует или каждый последующий размах в 4,2 раза меньше предыдущего. Такое быстрое уменьшение размахов приводит практически к тому, что система очень быстро останавливается. Итак, даже малые сопротивления весьма быстро гасят свободные колебания точки и по истечении некоторого промежутка времени их можно считать исчезнувшими.

Изменение механической энергии точки

Так как в настоящем параграфе рассматривается движение точки под действием силы потенциального поля (упругой, силовая функция которой и силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости функция рассеяния которой справедлив закон рассеяния механической энергии, общий вид которого, как указывалось, будет

В настоящем случае этот закон приобретает вид:

Итак, в рассматриваемом случае полная механическая энергия системы убывает.