З. ДИНАМИКА СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА)

ГЛАВА 20. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 1. Постановка задачи о движении связных механических систем. Реакции связей

Особенности раздела

Раздел, называемый аналитической механикой, посвящен изучению движения связных механических систем. Так как в этом случае законов Ньютона недостаточно для описания движения, то раздел опирается на дополнительный постулат «идеальности связей». Таким образом, этот раздел по сравнению с разделом «Нью-тонианская механика» является дальнейшим шагом в общей задаче изучения механических движений. Этот раздел имеет, в основном, дело со скалярными уравнениями, которые представляют собой те или иные проекции (или комбинации их) основного динамического уравнения движения точки. Составление основных уравнений связано с систематическим дифференцированием. Метод этого раздела определяет его название.

Условия задачи

Рассмотрим общую динамическую задачу о движении связных механических систем. Пусть система состоит из материальных точек, массы которых и на нее действуют заданные, так называемые, активные силы, равнодействующие которых, приложенные к точкам системы, назовем соответственно: Уравнения движения точек системы под действием этих сил запишем в виде:

Пусть на систему наложено а геометрических неосвобождающих связей, уравнения которых (как указывалось в кинематике) представим в виде:

Из уравнений связи следует (как подробно рассмотрено в кинематике), что ускорения точек системы связаны следующими соотношениями:

Реакции связи

Ускорения, определенные из уравнений (20.1), в общем случае не будут удовлетворять соотношениям (20.2). Следовательно, если на систему наложены связи, то ее ускорения будут отличны от ускорений, определенных из уравнений (20.1). Это значит, что воздействие связи сказывается в возникновении добавочной силы, изменяющей вектор ускорения. Эта добавочная сила называется реакцией связи и для каждой точки системы обозначается

Представление воздействия связей на механическую систему в виде сил согласуется с ранее высказанными суждениями о том, что источником сил служат материальные тела, так как связи всегда реализуются с помощью некоторой системы материальных тел.

Уравнения движения точек под действием активных сил и реакций связей запишутся в виде:

Реакции связи принципиально отличаются от активных сил, так как в последних уравнениях являются заданными, неизвестны. Реакции связей из уравнений (20,3) могут быть определены, если известны ускорения, с которыми двигаются точки системы. Но в динамических задачах движение, а следовательно, и ускорения неизвестны. Дополнительными уравнениями для определения будут уравнения (20.2), в которых молено заменить, определив их из уравнений (20.3).

О числе неизвестных и числе уравнений задачи

Так как уравнения (20.3) векторные, то число соответствующих скалярных уравнений будет и вместе с системой уравнений (20.2) имеем а уравнений. Число же неизвестных проекций ускорений и проекций сил реакций будет . В кинематике было отмечено, что а всегда меньше следовательно, задача об определении движения несвободной системы является неопределенной

(число уравнений меньше числа неизвестных), если не принять дополнительно каких-либо физических допущений относительно характера материального осуществления связей.

Такое допущение в механике принимается в виде введения понятия так называемых идеальных связей.