§ 2. Сложение вращений

Вращение вокруг пересекающихся осей

Тело вращается вокруг оси с мгновенной угловой скоростью Сама ось вращается с мгновенной угловой скоростью вокруг другой оси, пересекающую первую в точке О (рис. 43). Так как

векторы угловой скорости скользящие (см. Стр. 17), то перенесем их в точку О пересечения осей. Рассмотрим произвольную точку тела М. определяемую радиусом-вектором проведенным из точки О. Эта точка участвует в относительном движении тела, представляющем собой вращение его вокруг мгновенной оси с угловой скоростью и переносном движении — вращении тела вместе со своей осью вокруг мгновенной оси с угловой скоростью Относительная скорость точки будет:

и переносная скорость ее

Рис. 43

Абсолютная скорость по теореме сложения скоростей равна:

Полученная формула позволяет вычислить скорость любой точки тела, участвующего в сложном движении вращения вокруг двух пересекающихся осей.

Для того, чтобы выяснить характер этого сложного движения, построим вектор:

и вычислим скорость любой точки тела, расположенной по прямой, направленной по вектору 17. Радиус-вектор точки представляет собой отрезок тогда:

Но по условию вектор коллинеарен с вектором Следовательно, их векторное произведение равно нулю. Таким образом, все точки, расположенные на прямой, проходящей через точку О в направлении вектора имеют скорости, равные нулю. Следовательно, сложное движение представляет собой вращение вокруг мгновенной оси

Если угловая скорость этого вращения есть то для скорости точки М получим:

Следовательно:

сумма вращений относительно пересекающихся осей представляет собой вращение вокруг мгновенной оси. Угловая скорость сложного движения и направление мгновенной оси вращения определяются

вектором, равным геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих движений. Полученные результаты можно распространить на любое конечное число вращений. Если тело участвует в мгновенных вращениях вокруг пересекающихся в одной точке осей, то результирующее движение определяется вектором мгновенного вращения:

Можно решать и обратную задачу, когда задано вращение тела вокруг мгновенной оси. Тогда на основании полученных результатов следует, что это движение можно разложить на ряд вращений вокруг осей, пересекающихся в одной точке.

Примером тела, вращающегося одновременно около двух пересекающихся осей, служит волчок, который, быстро вращаясь вокруг своей оси симметрии, одновременно вращается медленно вокруг вертикальной оси.

Сложение вращений вокруг параллельных осей

Тело одновременно участвует в двух вращательных движениях, векторы угловых скоростей которых параллельны и направлены в одну сторону (рис. 44). Точки приложения векторов будут А и В. Не нарушая общности, можно считать, что прямая АВ перпендикулярна так как эти векторы скользящие.

Рис. 44

Картина распределения скоростей данного движения будет одинакова во всех плоскостях, перпендикулярных к векторам Поэтому рассмотрим распределение скоростей в плоскости, перпендикулярной которая проходит через точки А и В. Покажем, что на прямой АВ существует точка С, которая имеет скорость, равную нулю. Будем рассматривать вращение со скоростью как относительное движение и вращение со скоростью как переносное движение. Тогда относительная скорость точки равна и переносная (рис. 44) и направления этих скоростей противоположны. Потребуем, чтобы эти скорости были равны:

тогда

Следовательно, ось, проходящая через точку С, параллельная векторам будет мгновенной осью вращения тела. Обозначим мгновенную угловую скорость через и подсчитаем скорость точки В, которая с одной стороны равна:

и с другой стороны равна:

или

Угловая скорость результирующего движения равна сумме угловых скоростей составляющих движений.

Итак, результирующее движение от двух одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей есть вращение вокруг мгновенной осн, параллельной осям составляющих движений, проходящей через точку, делящую внутренним образом расстояние между ними на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям. Угловая скорость этого мгновенного сложного вращения равна сумме угловых скоростей составляющих движений.

Полученный результат без труда обобщается на случай одновременных вращений вокруг параллельных осей.

Сложение вращений вокруг антипараллельных осей

Пусть тело одновременно участвует в двух вращательных движениях, векторы угловых скоростей которых и параллельны, направлены в разные стороны и не равны по величине. Заметим, что если два вектора параллельны и направлены в разные стороны, то их называют антипараллельными. Следовательно, можно сказать, что рассматривается вращение вокруг антипараллельных осей. Для определенности положим, что (рис. 45).

Рис. 45

Пусть точки приложения угловых скоростей будут А и В, которые расположены на прямой, перпендикулярной Так же как в предыдущем случае, картина распределения скоростей рассматриваемого движения будет одинакова во всех плоскостях, перпендикулярных к векторам и качестве основной плоскости выберем плоскость, проходящую через А и В. Покажем, что на прямой АВ существует точка С, которая имеет скорость, равную нулю.

Будем рассматривать вращение со скоростью как относительное движение и вращение со скоростью как переносное движение. Тогда относительная скорость точки С равна и переносная Если точка С лежит слева от точки А, то эти скорости противоположны (рис. 45). Потребуем, чтобы эти скорости были равны, тогда

или

При этом условии скорость точки С равна нулю и прямая, проходящая через С, параллельная векторам будет мгновенной осью вращения тела. Обозначим мгновенную угловую скорость через и подсчитаем скорость точки В, которая с одной стороны равна:

и с другой стороны равна:

или

Угловая скорость результирующего движения равна разности угловых скоростей составляющих движений и направлена в сторону большей угловой скорости.

Итак, результирующее движение от двух не равных направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей есть вращение вокруг мгновенной оси, параллельной осям составляющих движений, проходящей через точку, делящую внешним образом расстояние между ними на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям. Угловая скорость этого сложного мгновенного вращения равна разности угловых скоростей, составляющих движений. Вектор мгновенной угловой скорости направлен в сторону большего из векторов

Пара вращений

Тело одновременно участвует в двух вращательных движениях вокруг параллельных осей с угловыми скоростями равными по величине и противоположными по направлению. Считая, что

создает относительное движение, а переносное движение, скорость произвольной точки тела М (рис. 46) найдем по формуле:

Но

Тогда (рис. 46)

Из последнего равенства следует, что скорости всех точек тела будут одинаковы, а это значит, что тело движется поступательно. Сочетание двух вращений вокруг параллельных осей с одинаковыми по величине, но противоположными по знаку угловыми скоростями называется парой вращений. Расстояние между осями называется плечом этой пары.

Рис. 46

Следовательно, пара вращений дает поступательное движение со скоростью, равной по величине произведению угловой скорости на плечо пары. Скорость этого поступательного движения перпендикулярна плоскости расположения пары и направлена так, что если смотреть с конца этого вектора, то пара вращения стремится повернуться против часовой стрелки.

Обратно, если дан вектор поступательной скорости то с кинематической точки зрения он может быть заменен парой вращения, расположенной в перпендикулярной ему плоскости.

Величина угловой скорости и плечо пары должны при этом удовлетворять условию:

Поскольку вектор поступательной скорости — свободный, то пара вращений может быть расположена в любом месте пространства без изменения направления нормали к плоскости расположения векторов о. Простейшим примером пары вращений может служить поступательное движение педали велосипеда, которая одновременно участвует в двух вращениях (рис. 47),

Рис. 47

Вращение тела вокруг скрещивающихся осей

Пусть тело вращается в данный момент одновременно вокруг скрещивающихся осей с угловыми скоростями Обозначим кратчайшее расстояние между осями через АВ. В точке А приложим вектор и в точке (рис. 48, а). Чтобы изучить, каков

будет характер движения тела в этом случае, приведем данный случай движения тела к уже рассмотренным. Построим вектор , равный геометрической сумме и (рис. 48, б). Вектор угловой скорости, приложенной в одной точке, как ранее было показано, можно представить в виде геометрической суммы слагаемых векторов. Представим в виде суммы векторов, направленных параллельно вектору и перпендикулярно к нему. Так как перпендикулярные вектору составляющие равны по величине и противоположны по направлению, то назовем их а составляющие векторов параллельные вектору обозначим через Тогда в точках А и В будут приложены соответственно векторы угловой скорости линии действия которых параллельны и вектору . Первые два вектора угловых скоростей, как указано ранее, приводятся к одному вектору , параллельному этим векторам. Векторы приложенные в точках А и В, образуют пару вращений и определяют, как указано ранее, поступательное движение со скоростью

Рис. 48

Отсюда следует, что поступательная скорость будет направлена вдоль вектора Таким образом, рассматриваемый случай движения тела представляет собой одновременное вращение тела вокруг оси и поступательное перемещение его вдоль этой оси. Такое движение называется мгновенно винтовым движением, а соответствующее ему сочетание векторов называется кинематическим винтом.

Рассматривая вращательное движение вокруг оси, как относительное, а поступательное движение, как переносное, скорость любой точки тела запишем в виде:

где — радиус-вектор, проведенный из точки приложения вектора в точку, скорость которой определяется.

Общий случай сложения поступательных и вращательных движений

Предположим, что тело в данный момент вращается вокруг произвольно направленных осей. Складывая последовательно эти

движения, как указано ранее, получим либо вращение тела вокруг мгновенной оси, либо мгновенно винтовое движение.

Если тело участвует в нескольких поступательных движениях, то последние можно представить как пары вращений. Таким образом, общий случай сложения поступательных и вращательных движений может быть сведен к сложению только вращений. Следовательно, произвольное сложное движение твердого тела, составленное из поступательных и вращательных вокруг осей движений, может быть для любого момента времени сведено к мгновенно винтовому движению. Обратно, мгновенно винтовое движение твердого тела можно разложить на ряд мгновенно поступательных и вращательных движений.

Приведенные исследования о возможности сложения и разложения различных движений твердого тела широко применяются при составлении уравнений движения его.