§ 1. Основной закон механики (второй закон Ньютона). Инертная масса. Принцип независимости действия сил

Связь между силой и изменением скорости точки

Из первого закона Ньютона следует, что если на материальную точку действует сила, то она вызывает изменение скорости точки. Опытным путем установлено, что количественно указанная связь определяется зависимостью:

где — действующая на точку сила, — вектор ее скорости и — коэффициент, не зависящий от действующей на точку силы.

Инертная масса точки

Если точка в процессе изучения ее движения не отделяет и не присоединяет к себе материальных частиц и движется со скоростями, далекими от скорости света, то сохраняет постоянную величину для заданной материальной точки и последнее уравнение может быть переписано в виде:

Из этого равенства следует, что чем больше тем меньшее ускорение сообщается точке одной и той же действующей силой. Часть тела под действием одной и той же силы будет получать большее ускорение, чем все тело. Таким образом, значение коэффициента характеризует способность материальной точки (или поступательно движущегося тела) быстрее или медленнее изменять свое движение под действием силы, или, как говорят, короче, коэффициент характеризует инертные свойства точки.

Из последнего равенства следует, кроме того, что коэффициент имеет размерность тяжелой массы.

Указанные свойства коэффициента определяют его название инертная масса точки. Для определения величины инертной массы можно, приложив к данной материальной точке известную силу (например, прикрепить к телу растянутую пружину), измерить получающееся ускорение Тогда подсчитанный по равенству (6.2) скалярный коэффициент даст нам величину инертной массы точки.

Связь между инертной и тяжелой массой точки

Как указано выше, величина инертной массы может быть найдена независимо от существования силы земного притяжения. В то же время определенная ранее величина тяжелой массы непосредственно связана с этой силой. Заранее нельзя утверждать, что между инертной и тяжелой массами имеется какая-либо связь. Однако многочисленными и весьма точными экспериментами, в частности, по падению тел в вакууме, было установлено равенство этих масс. Равенство тяжелой и инертной масс указывает, что материя обладает не только гравитационными, но и инертными свойствами, которые неотделимы друг от друга.

Если, используя определение тяжелой массы, записать

где — вектор силы притяжения Земли по модулю, равнуй весу тела, — вектор ускорения свободного падения, и сравнить это выражение с зависимостью силы от ускорения

то в виду равенства тяжелой и инертной масс эффект действия гравитационных сил нельзя отличить от действия любых других сил. Поэтому равенство (6.1) имеет универсальный характер и его можно применять, не интересуясь качественной природой сил. Последнее позволяет сформулировать основной закон движения в механике.

Второй закон Ньютона (основной закон механики)

В виду равенства тяжелой и инертной масс в дальнейшем будем говорить просто о массе точки Произведение массы точки на вектор скорости точки обозначается и называется количеством движения или импульсом точки

Импульс точки представляет собой вектор, направленный по вектору скорости точки.

Введя этот термин, второй закон Ньютона на основании вышеприведенных данных и формулы (6.1) можно сформулировать следующим образом. В инерциальной системе координат действующая на материальную точку сила равна производной по времени от импульса точки:

В случае постоянства массы точки этот закон обращается в равенстве вида:

или в инерциальной системе координат, действующая на материальную точку сила равна произведению массы точки на ее ускорение.

Второй закон Ньютона является основным законом механики, так как он устанавливает количественную связь между кинетическими элементами (силой F и массой ) и кинематическими элементами (изменением скорости, ускорением) материальной точки.

Заметим, что первый закон Ньютона может быть получен из второго закона как следствие. Действительно, если на точку не действует сила то из равенства (6.2) следует

а это значит, что точка находится в иперциальном состоянии. Указанное не умоляет значения первого закона Ньютона, так как роль его заключается в установлении критерия иперциальности системы координат, в которой только и будет справедлив второй закон Ньютона.

О принципе относительности Галилея

Вторая аксиома ньютонианской механики сформулирована для инерциальной системы. Покажем, что она справедлива в любой инерциальной системе. Действительно, пусть в некоторой инерциальной системе точка имеет скорость . В другой инерциальной системе, движущейся относительно первой со скоростью скорость той же точки равна Тогда по теореме сложения скоростей имеем:

т. е. скорость точки меняется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Для вычисления ускорений продифференцируем приведенное равенство по t. Так как, согласно определению инерциальных систем, скорость есть величина постоянная,

то

Следовательно, ускорение точки не меняется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Так как сила не зависит от выбора системы координат, то основной закон механики остается неизменным во всех инерциальных системах.

Таким образом, доказывается полная механическая равноправность любых инерциальных систем. Физический смысл этой равноправности заключается в том, что механические явления во всех инерциальных системах протекают совершенно одинаково и никаким механическим экспериментом нельзя выяснить, движется система координат или покоится. Это положение составляет окончательную формулировку принципа относительности Галилея.

Принцип независимости действия сил

При рассмотрении второго закона Ньютона речь шла о действии на точку одной силы. Одновременное действие на точку нескольких сил вызывает движение, которое описывается принципом независимости действия сил, который гласит: ускорение материальной точки при одновременном действии на нее нескольких сил равно векторной сумме ускорений, сообщаемых точке отдельными силами.

Иначе говоря, каждая из сил вызывает ускорение, пропорциональное ее величине и направленное по линии ее действия так, как-будто только она одна приложена к точке.

Пусть на точку массы действуют силы Каждая из этих сил вызывает ускорение, сответственно причем

Ускорение точки под действием совокупности всех сил на основании этого принципа будет:

или

Следовательно:

Правило параллелограмма сил. Равнодействующая

Из последнего равенства следует правило сложения сил, которое гласит: совокупность нескольких одновременно действующих на

точку сил вызывает тот же эффект, что и действие одной силы равной геометрической сумме этих сил.

Сила R называется равнодействующей и находится как замыкающая силового многоугольника, построенного на заданных силах . В частном случае, силы могут образовывать замкнутый многоугольник, тогда R равно нулю и точка, к которой будут приложены эти силы, будет иметь ускорение, равное нулю, или находиться в инерционном состоянии. Таким образом, система сил, равнодействующая которых равна нулю, по своему действию на точку эквивалентна отсутствию сил. Такая система сил называется взаимно уравновешенной. Добавление к действующим на точку силам или отбрасывание взаимно уравновешенной системы сил не изменит характера движения точки.

Формулировка первого и второго законов Ньютона при действии на точку системы сил

Правило параллелограмма сил позволяет сформулировать первые два закона Ньютона, для случая когда на точку действует система сил. Именно точка, на которую действует уравновешенная система сил, находится в инерционном состоянии (первый закон Ньютона). Второй закон Ньютона может быть сформулирован так: производная по времени от импульса точки равна геометрической сумме сил, действующих на точку.