§ 5. Метод Рауса

Функция Рауса

Как указывалось ранее, постановку механической задачи можно оформить заданием функции Лагранжа зависящей от переменных Тогда дифференциальные уравнения движения будут уравнениями Лагранжа второго рода. Поставить механическую задачу можно и при помощи функции Гамильтона зависящей от канонических переменных . В этом случае уравнениями задачи будут канонические уравнения.

Однако в некоторых случаях целесообразнее формулировать задачу в смешанных переменных, используя переменные и Лагранжа и Гамильтона. Последнее было осуществлено Раусом путем введения фуикции носящей его имя.

Пусть механическая система определяется обобщенными координатами Разобьем их на две группы

Для первой группы координат перейдем к обобщенным импульсам и введем функцию Рауса, определенную равенством:

и зависящую от переменных

Уравнения движения, записанные через функцию Рауса

Составим уравнения движения, которые записаны для функции Рауса. Для этого возьмем дифференциал от функции

Рауса, используя ее определение:

Так как, с другой стороны,

то имеем:

Из группы уравнений (22.8) в силу уравнений Лагранжа второго рода следует:

Из уравнений (22.7) и (22.8) следует, что для первой группы переменных функция Рауса удовлетворяет каноническим уравнениям, а для второй группы переменных удовлетворяет уравнениям Лагранжа второго рода.

Характеристическая функция Рауса

Функция Рауса, подобно функциям Лагранжа и Гамильтона, полностью характеризует постановку механической задачи. Благодаря этому она является характеристической функцией механической

системы. Занимая промежуточное место между функциями Лагранжа и Гамильтона, она обращается в последние при

Функция Рауса при наличии циклических координат

Функция Рауса весьма удобна в случае упрощения уравнений движения при наличии циклических координат. Действительно, пусть первых обобщенных координат системы будут циклическими. Тогда эти координат не входят в функцию и не входят в функцию и из системы уравнений (22.7) следует, что обобщенные импульсы будут постоянными, которые определим из начальных условий и обозначим через . Таким образом, функция Рауса будет иметь вид:

т. е. зависит только от нециклических координат. На этом основании уравнения (22.8) можно решать только относительно неизвестных