Ж. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ К НЕКОТОРЫМ СПЕЦИАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ МЕХАНИКИ

ГЛАВА 18. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

§ 1. Уравнение Мещерского

Тела переменной массы. Возможные пути установлений уравнения их движения

Во всех предыдущих исследованиях предполагалось и неоднократно использовалось, что масса материальных точек, движение которых изучалось, остается неизменной. Однако ряд явлений, которые наблюдаются в природе, и развитие современной техники указывают, что мы встречаемся в практике с телами и точками, которые в процессе своего движения изменяют массу. В качестве примеров можно указать на движение метеора, который при движении в атмосфере частично или даже полностью сгорает, на движение водяной капли в тумане (она увеличивает свою массу) и, наконец, на движение ракет, занимающих в современной науке важное место, которые благодаря сгоранию топлива более чем на 90% уменьшают свою массу. При изучении движения точек переменной массы нельзя непосредственно пользоваться вторым законом Ньютона, так как он был получен как обобщение наблюдений над движением тел постоянной массы.

Для установления уравнения движения точки переменной массы можно ставить опыты, как в свое время это было сделано для точек постоянной массы Однако такой путь будет весьма сложным, так как искомое уравнение должно зависеть от закона изменения массы точки со временем.

Наряду с этим можно указать и другой путь построения уравнения движения точки переменной массы, заключающийся в разработке такой схемы явления, которая допускала бы использование основных теорем механики, полученных для точки и системы точек постоянной массы. Этот путь и принят в современной теории движения точек переменной массы.

Основная гипотеза

Точку переменной массы будем представлять как некоторую совокупность более мелких частиц постоянной массы, к которой присоединяют или которой отделяются такие частицы. Тогда рассматривая совокупность этих частиц (как сосредоточенных в данной материальной точке, так и отброшенных или присоединяемых ею) как одну систему, получаем обычную механическую систему, масса которой не изменяется в процессе движения.

При исследовании движения точки переменной массы будем предполагать, что точка и присоединяемые к ней или отбрасываемые ею частицы взаимодействуют друг с другом лишь в момент соприкосновения. Это допущение, близкое к действительности, сильно упрощает исследование и позволяет не рассматривать движения частиц после их отделения от точки или до их присоединения к ней.

Сделанные допущения позволяют применить теоремы о движении механических систем, состоящих из элементов постоянной массы, к рассматриваемому явлению. Таким образом, настоящую главу можно рассматривать как пример применения общих теорем предыдущей главы.

Вывод уравнения Мещерского

Перейдем к выводу основного закона динамики для точки переменной массы. Пусть в момент времени t точка имеет массу и абсолютную скорость V. Далее, за время к ней присоединятся частицы, имеющие до присоединения абсолютную скорость и и суммарную массу . В момент точка и присоединившиеся к ней частицы будут иметь массу и некоторую скорость Вычислим изменение количества движения всей системы за время

В момент времени ее количество движения было равно

а в момент оно стало

Поэтому изменение количества движения за время будет:

или

Разделив последнее равенство на и переходя к пределу при стремящемуся к нулю, имеем.

так как

Применим к рассматриваемой системе теорему о количестве движения, которая, как было доказано, справедлива в случае движения любых механических систем.

Внешними силами этой системы будут силы, приложенные к точке переменной массы. Обозначая равнодействующую этих сил через будем иметь:

Полученное уравнение представляет собой основной закон механики для точки переменной массы и называется уравнением Мещерского.

При выводе уравнения Мещерского предполагалось непрерывность изменения массы и дифференцируемость функции .

Если производная , то масса рассматриваемой точки увеличивается. Это значит, что во время движения точки происходит присоединение частиц. Если производная то масса рассматриваемой точки уменьшается. Это значит, что во время движения точки происходит отбрасывание частиц. При масса точки постоянна и уравнение Мещерского переходит во второй закон Ньютона.

Различные записи уравнения Мещерского. Реактивная сила

Уравнение Мещерского можно представить в другом виде. Именно записав, что

перепишем уравнение Мещерского в виде:

Из этого уравнения следует, что если абсолютная скорость отбрасываемых частиц равна нулю, то в этом частном случае уравнение Мещерского приобретает вид:

Укажем еще другую запись уравнения Мещерского. Именно, так как

представляет собой скорость присоединяемых частиц относительно движущейся точки переменной массы, то уравнение Мещерского запишем в виде:

Произведение называется реактивной силой. Обозначая ее R

уравнение Мещерского примет вид:

Эта запись уравнения указывает, что основное уравнение движения точки переменной массы отличается от уравнения движения точки постоянной массы возникновением реактивной силы

Величина реактивной силы равна

Следовательно, реактивная сила пропорциональна изменению массы точки в единицу времени и относительной скорости отбрасываемых (или присоединяемых) частиц. Отсюда, чтобы увеличить реактивную силу, следует увеличить изменение массы точки с течением времени и повысить относительную скорость отбрасываемых частиц

Из последней записи уравнения Мещерского следует, что точка переменной массы может двигаться с ускорением и при отсутствии внешних сил. Действительно, при уравнение Мещерского принимает вид:

из которого следует, что движение точки ускоренное.