§ 3. Эдлипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси

Возьмем в теле произвольную точку О и проведем через нее координатные оси х, у, z. Пусть моменты инерции тела относительно этих осей будут известны и равны Проведем

через точку О произвольную ось А. Положение этой оси относительно выбранной системы координат полностью определится единичным вектором отложенным на этой оси, который запишем в виде:

где — углы, образуемые этим вектором с осями координат (рис. 116). Вычислим момент инерции тела относительно оси

Согласно определению имеем:

где — расстояние элемента от оси . Но

где — радиус-вектор элемента угол между векторами (рис. 116). Следовательно,

но

Рис. 116

Раскрывая определитель, получаем:

но

Таким образом:

или

Полученная формула позволяет вычислить моменты инерции относительно произвольной оси, проходящей через начало координат, если осевые и центробежные моменты инерции известны.

Эллипсоид инерции

Полученной формуле можно дать наглядное геометрическое истолкование. Разделим обе ее части на и введем новые переменные

Тогда будем иметь:

Геометрический смысл переменных x, у, z легко выяснить, если учесть, что:

и

Эти соотношения показывают, что если от точки О отложить вектор

то его конец будет иметь координаты, равные величинам х, у, z. Следовательно, если на каждом луче отложить отрезок геометрическим местом будетповерхность, описываемая уравнением (14.3). Из этого уравнения видно, что рассматриваемая поверхность есть центральная поверхность второго порядка. Так как то отрезок нигде не обращается в бесконечность и, следовательно, эта поверхность является эллипсоидом. Ее называют эллипсоидом инерции.

Из равенства

следует, что

Так как точка М является точкой пересечения оси с поверхностью эллипсоида инерции, то удаление этой точки от начала координат определит момент инерции тела относительно оси, направленной вдоль

Главные оси инерции тела

Уравнение эллипсоида инерции тела принимает канонический вид, если в качестве координатных осей, проходящих через точку О, выбрать оси эллипсоида инерции. Уравнение его в этом случае будет иметь вид:

Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции тела в данной точке.

Каждой точке тела соответствуют, вообще говоря, три главные оси инерции, исключение составляют эллипсоиды инерции, являющиеся эллипсоидом вращения, тогда этих осей будет бесконечно много.

В каноническом уравнении эллипсоида инерции отсутствуют члены, содержащие произведение координат. Это значит, что центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции тела равны нулю или для главных осей инерции справедливы равенства:

Главная ось не является главной во всех своих точках

Пусть ось z, проходящая через начало координат О, будет главной. Покажем, что если начало координат перенесено в точку принадлежащую этой оси, то она уже не будет главной. Действительно, проведем через точку оси параллельно главным осям х, у, z, проходящим через точку О (рис. 117). Тогда

и центробежные моменты инерции относительно новых осей будут выражаться через центробежные моменты относительно старых осей по формулам:

Но оси x, у, z являются главными осями в точке О. Поэтому:

Рис. 117

Таким образом, оси не будут главными осями инерции в точке О.

Главные центральные оси инерции

Главная ось называется главной центральной осью, если она проходит через центр масс системы. Особенностью главной центральной оси является то, что она будет главной для всех своих точек. Действительно, если точка О будет центром масс тела, то имеем:

Но из трех предыдущих равенств следует, что оси будут в этом случае главными осями инерции в точке Следовательно, ось z будет главной осью для всех точек, лежащих на ней.

Определение моментов инерции для материально-симметричных тел

Если тело обладает осью материальной симметрии, то эта ось будет главной осью для любой ее точки. Действительно, пусть ось является такой осью. Тогда каждой элементарной массе с координатами х, у, z будет соответствовать такая же элементарная масса с координатами . Следовательно, имеем:

и, значит, ось z будет главной осью этого тела. Подобным же образом, можно показать, что если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью.

Основной результат настоящей главы

Подводя итог настоящей главы, можно заключить, что известные шесть моментов инерции относительно каких-либо осей и известный центр масс тела позволяют найти моменты инерции тела относительно произвольно выбранной оси. Действительно, зная величины можно определить момент инерции относительно произвольной заданной оси, проходящей через начало координат, и теорема Гюйгенса — Штейнера позволяет определить момент инерции тела относительно оси, параллельной заданной, если известен центр масс тела.