§ 2. Гипотеза Ньютона

Содержание гипотезы Ньютона

Как уже указывалось, ударные силы, действующие на систему, весьма велики. Причем эти силы могут быть как внешние, так и внутренние. Благодаря этому эти силы вызывают заметную деформацию твердых тел и, таким образом, при ударе эти тела нельзя рассматривать как абсолютно твердые. В связи с этим при изучении удара приходится учитывать физические свойства тел.

Последнее обстоятельство выводит нас за рамки только нью-тонианских законов, и, следовательно, этот раздел является, строго говоря, областью физической механики (как и излагаемые ранее, глава 10, § 2 — вопросы трения скольжения).

В теории удара физические свойства соударяющихся тел учитываются специальной гипотезой Ньютона, которая представляет собой обработку и обобщение опытных данных. Эта гипотеза состоит в следующем. Рассмотрим соударяющиеся тела Пусть во время удара эти тела соприкасаются друг с другом соответственно в точках Относительные скорости точки по отношению к телу по отношению к телу будут равны по величине и противоположны по знаку. Спроектируем какую-нибудь из этих скоростей на нормаль тел в точке их соприкосновения и обозначим эту проекцию через Тогда, согласно гипотезе Ньютона, будем иметь:

где — значения скоростей до и после удара, — положительный постоянный коэффициент, зависящий только от материала соударяющихся тел, которые предполагаются абсолютно гладкими.

Учитывая, что скорости имеют противоположные знаки, последнее равенство можно записать в виде:

где называется коэффициентом восстановления. Следовательно, гипотезу Ньютона окончательно можно сформулировать так:

отношение нормальных составляющих относительных скоростей тел в точке их соприкосновения после и до удара равно отрицательному значению коэффициента восстановления.

Физическое обоснование гипотезы Ньютона

Чтобы разобрать физический смысл гипотезы Ньютона, рассмотрим в качестве примера падение упругого шара на упругую горизонтальную плоскость. При падении шара на плоскость происходит удар. В начале удара, когда происходит соприкосновение шара с плоскостью, начинается деформация шара и плоскости (рис. 132).

Рис. 132

При этом внутренние силы совершают отрицательную работу, вследствие чего кинетическая энергия шара начинает уменьшаться, и в некоторый момент скорость его становится равной нулю. Вслед за этим благодаря упругим свойствам шара и плоскости начинается восстановление их формы, которое сопровождается положительной работой внутренних сил. Если в конце удара шар и плоскость полностью восстановят свою форму или, как говорят, шар и плоскость абсолютно упруги, то величина положительной работы внутренних сил окажется равной величине отрицательной работы этих сил. В результате полная работа этих сил за время удара равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия шара после удара будет такой же, как его кинетическая энергия до удара.

Все реальные тела не являются абсолютно упругими и вследствие этого при падении шара на плоскость полного восстановления формы шара и плоскости не произойдет. Шар и плоскость сохранят так называемую остаточную деформацию. В результате этого положительная величина работы внутренних сил окажется меньше величины отрицательной работы этих сил. Суммарная работа внутренних сил за время удара будет отрицательной, что вызовет уменьшение кинетической энергии шара после удара по сравнению с величиной ее до удара. Отсюда ясно, что скорость шара после удара (а значит и высота, на которую он поднимается) будет зависеть от физических свойств материалов, из которых изготовлены шар и неподвижная плоскость. Гипотеза Ньютона и учитывает физические свойства соударяющихся тел. В частности, в рассматриваемом примере она учитывает соотношение скоростей при падении шара на плоскость и при его отскоке от плоскости.

Из рассмотренной физической схемы удара следует заключить, что гипотеза Ньютона фактически является своеобразной теоремой об изменении кинетической энергии системы при ударе.

Экспериментальное определение коэффициента восстановления

В гипотезу Ньютона входит коэффициент восстановления, который определяется экспериментальным путем. Простейшим методом для его определения может служить следующий опыт. Рассмотрим падение шарика, изготовленного из какого-либо материала на массивную плиту. Пусть шарик падает без начальной скорости с высоты (рис. 133). При соприкосновении шарика с плитой в начале удара, как следует из теоремы о кинетической энергии точки, шарик будет иметь скорость

направленную вертикально вниз. После удара скорость шарика будет и направлена вверх.

Рис. 133

После удара шарик поднимется на высоту которую легко замерить, и, как следует из теоремы о кинетической энергии точки, будет связана со скоростью соотношением:

Полагая, что плита достаточно массивна, можно считать скорость ее все время равной нулю. Направляя нормаль к плите вертикально вверх, будем иметь:

Отсюда

Изготовляя шарик и плиту из различных материалов и измеряя высоту падения и подъема можно таким путем найти коэффициент восстановления для этих материалов. Как показывают опыты, коэффициент восстановления лежит в интервале

В предельном случае, когда удар называется абсолютно упругим. В этом случае Подчеркнем, что таким образом абсолютно упругий удар соответствует сохранению кинетической энергии тела Если то удар называется абсолютно неупругим, при этом тела после удара имеют одинаковую скорость.

В качестве примера укажем для некоторых материалов:

дерево — 0,50,

сталь — 0,56,

слоновая кость — 0,89,

стекло — 0,94.