§ 3. Уравнение энергии в специальной теории относительности

Временная составляющая четырехмерного вектора силы

Обратимся к исследованию временной составляющей второго закона Ньютона в мире Минковского. Для этого определим физический смысл четвертой временной составляющей силы в мире Минковского.

Умножим скалярно векторное уравнение движения в мире Минковского на вектор 4-скорости, получим

или

Но ранее показано, что или представляет собой постоянную величину, следовательно, и имеет место соотношение:

Используя предыдущие результаты, последнее равенство запишем в виде.

Отсюда временная составляющая четырехмерного вектора силы имеет вид:

или пропорциональна работе силы в единицу времени (или мощности ее).

Временная проекция второго закона Ньютона в мире Минковского

Зная запишем временную проекцию второго закона Ньютона в мире Минковского, которая будет иметь вид:

Сокращая на с и переходя от собственного времени к времени t выбранной системы координат, запишем:

Кинетическая энергия в специальной теории относительности

Исследование временной проекции второго закона Ньютона в мире Минковского позволяет установить понятие кинетической энергии специальной теории относительности. Действительно, так как в ньютонианской механике кинетическая энергия Т удовлетворяет соотношению:

то из сравнения двух последних равенств следует определить

кинетическую энергию специальной теории относительности в виде:

Займемся определением постоянной последнего выражения. Так как кинетическая энергия согласно ее классическому определению должна равняться нулю, когда точка находится в покое то константу последней формулы следует положить равной . Итак, окончательно кинетическая энергия в специальной теории относительности может быть определена формулой.

При малых значениях последнее соотношение может быть записано в виде:

т. е. в предельном случае при малых значениях по сравнению со скоростью света, определение кинетической энергии совпадает с определением ее в классической механике.

Понятие релятивистской полной энергии точки

Запишем временную составляющую вектора количества движения, используя введенное понятие кинетической энергии, данное выше.

Именно:

Выражение:

обозначаемое назовем полной релятивистской энергией точки.

Член носит название внутренней энергии точки или энергии покоя, так как при

Таким образом, в специальной теории относительности релятивистская полная энергия точки есть сумма ее кинетической энергии и энергии покоя

Возвращаясь к временной составляющей вектора количества движения, можно ее записать в виде:

или выражается через релятивистскую полную энергию точки.

Уравнение энергии в специальной теории относительности

На основании изложенного временная составляющая второго закона Ньютона в мире Минковского теперь может быть записана в виде:

Это соотношение представляет собой уравнение энергии специальной теории относительности. Оно заменило уравнение энергии классической механики вида:

Или вместо в специальной теории относительности имеет место:

В случае в специальной теории относительности имеет место равенство:

представляющее собой закон сохранения релятивистской полной механической энергии точки.

Об уравнении энергии специальной теории относительности

Рассматривая уравнения специальной теории относительности, следует обратить внимание на то, что уравнение энергии не является простым следствием уравнений движения точки в трехмерном мире, как это имело место в теоретической механике. Уравнение энергии специальной теории относительности является самостоятельным уравнением, описывающим движение точки, существующим наравне со вторым законом Ньютона специальной теории относительности в трехмерном мире. Или уравнение энергии является составной частью второго закона Ньютона в мире Минковского.

Совокупность уравнений движения и уравнения энергии обеспечивает ковариантность общих уравнений движения точки относительно преобразований Лоренца.

О силах в специальной теории относительности

Рассматривая материальные точки, двигающиеся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, которые описываются указанными выше уравнениями движения специальной теории относительности, следует указать характер сил, под действием которых такие движения совершаются.

В теоретической механике все силы можно разделить на два класса: силы контактирующие, возникающие в результате непосредственного контакта тел, и силы дальнодействия, передающиеся на расстоянии.

В задачах специальной теории относительности имеют место силы, возникающие при тесном сближении частиц. Эти силы можно моделировать как ударныесилы, возникающие в результате соударения материальных точек.

Общий вид дальнодействующих сил не имеет места в задачах специальной теории относительности, так как понятие их не совместимо с принципами теории относительности. Действительно, при рассмотрении движения точки полагается, что, например, гравитационная сила распространяется с бесконечно большой скоростью. Из теории же относительности следует, что силы должны передаваться со скоростями, не превышающими скорость света с.

Таким образом, строго говоря, консервативные силы классической механики не имеют места в специальной теории относительности.

Однако консервативные силы вида вводятся в конкретных задачах релятивистской механики либо с какой-то степенью приближения, которая должна быть оговорена, либо в таких комбинациях, которые обеспечивают ковариантность основных уравнений.

Силы Лоренца, действующие на заряженную частицу, отвечают задачам релятивистской механики, так как в теорию относительности включаются электромагнитные явления, которые инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Проекции силы Лоренца в декартовых координатах могут быть представлены в виде:

где можно назвать силовой функцией, зависящей от координат и скорости точки.

В дальнейшем изложении, когда необходимо будет конкретизировать силы, действующие на точки, ограничимся рассмотрением только ударных сил и сил Лоренца. Однако заметим, что приведенные далее положения и выводы могут быть распространены и на консервативные силы.