§ 2. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей

Вычисление моментов инерции

Как указано, три осевых и три центробежных момента инерции определяют распределение или геометрию масс твердого тела. Вычисление моментов инерции твердого тела осуществляется посредством интегрирования. Действительно, разобьем твердое тело на элементарные объемы, тогда масса этого объема будет:

где — плотность тела в данной точке. Теперь осевые и центробежные моменты инерции могут быть представлены в виде:

где

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Выясним, как изменяются моменты инерции тела при переходе от одной системы координат к другой, параллельной первой. Предположим, что относительно некоторой системы координат вычислены моменты инерции . Рассмотрим систему оси которой параллельны осям , а начало находится в центре масс рассматриваемого тела. Тогда для любйй точки этого тела будем иметь:

где — координаты этой точки относительно систем - координаты центра масс относительно системы Поэтому

и

или

Далее имеем:

так как каждый из этих интегралов выражает статический момент тела относительно плоскости, проходящей через его центр масс. Аналогично:

и

Так как

где М — масса тела, то

и

Поэтому, положив

будем иметь:

и

Аналогично:

и

Квадрат расстояния от оси х до оси х равен

и равенство, связывающее можно записать в виде.

Так как направление оси х было выбрано произвольно, то можно сформулировать следующую теорему Гюйгенса — Штейнера: при

переходе от оси, проходящей через центр масс тела, к другой оси, ей параллельной, момент инерции тела увеличивается на произведение его массы, умноженной на квадрат расстояния между этими осями.

Из этой теоремы следует, что осевой момент инерции будет минимальным относительно той из параллельных осей, которая проходит через центр масс тела.

Осевые моменты инерции тела относительно параллельных осей

Теорема Гюйгенса — Штейнера позволяет связать моменты инерции тела относительно двух параллельных осей , отстоящих от центра масс на расстояниях Так как

и

то

Радиус инерции тела

Осевой момент инерции часто представляют в виде произведения массы тела М на квадрат некоторой длины

Величина определяемая равенством

называется радиусом инерции тела относительно данной оси. Радиус инерции равен тому расстоянию от оси, на котором нужно поместить точку массы М, чтобы ее момент инерции относительно этой оси был равен моменту инерции рассматриваемого тела.