§ 2. Динамические уравнения Эйлера

Векторные уравнения, определяющие движение твердого тела, имеющего неподвижную точку

Применяя к телу, имеющему неподвижную точку, теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте, получим:

где М — масса тела, — ускорение центра масс, R — главный вектор активных сил, приложенных к телу, — производная по времени от кинетического момента относительно неподвижной точки, — реакция неподвижной точки, М — момент активных сил относительно этой точки. Реакция момента относительно точки О не создает и потомуне входит в уравнение (17.2). Выражая кинетический момент через углы Эйлера и их производные по времени и проектируя векторы равенства (17.2) на оси координат, получим три уравнения второго порядка относительно углов , достаточные для определения их как функции времени и начальных условий. Следовательно, уравнение (17.2) представляет собой векторное дифференциальное уравнение, определяющее движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Определив в результате интегрирования уравнения (17.2) закон движения твердого тела, вычислим ускорение его центра масс и тогда из уравнения (17.1) можно будет найти неизвестную реакцию

Специальный выбор осей координат, скрепленных с телом

Исследуем уравнение движения тела (17.2). Ранее были получены выражения для проекций кинетического момента на оси произвольной системы координат (глава 14, § 1), которые выражаются через проекции вектора угловой скорости и осевые и центробежные моменты относительно этих же осей. Причем система координат может быть произвольной: неподвижной или подвижной. Если в случае движения тела вокруг неподвижной точки выбрать неподвижные оси то вследствие движения тело будет занимать различные положения относительно осей и его моменты инерции относительно них будут изменяться.

Если же в качестве осей выбрать жестко связанные с телом подвижные оси , то моменты инерции будут постоянными и их можно вычислить заранее (по заданной форме тела и заданному распределению масс в нем). Последнее обстоятельство существенно упрощает исследование, и поэтому такому выбору осей отдается предпочтение. Так как положение оссй в твердом теле может быть произвольным, то выберем эти оси так, чтобы они являлись главными осями инерции тела в точке О. Этим достигается дальнейшее упрощение, так как центробежные моменты инерции обращаются в нуль и выражение для кинетического момента существенно упрощается. Именно, будем иметь:

где моменты инерции относительно главных осей; — проекции мгновенной угловой скорости на эти оси.

Уравнение движения тела в подвижной системе координат

Итак, в качестве координатных осей при изучении движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, следует выбрать подвижную систему, оси которой будут направлены вдоль главных осей инерции тела в точке О.

Такая система координат, как говорилось ранее (глава 12, § 4), называется расчетной. Перепишем в ней уравнение движения (17.2). Для этого воспользуемся второй теоремой Резаля, согласно которой (17.2) можно записать в виде:

где — абсолютная скорость конца вектора кинетического момента. Но из теоремы о сложении скоростей следует, что

где — относительная и переносная скорости конца вектора кинетического момента. Таким образом, является скоростью конца вектора в подвижной системе ипер — является скоростью той точки твердого тела, которая в данный момент совпадает с концом . Из этого следует, что

Суммируя сказанное, теорема о моменте количества движения, записанная в подвижной системе координат , в формулировке Резаля имеет вид:

где

— единичные векторы вдоль подвижных осей , иогн есть производная по времени от кинетического момента, вычисленная в подвижной системе.

Динамические уравнения Эйлера

Проектируя векторное равенство (17.3) на оси , получаем

Заменяя выражениями через и учитывая, что моменты инерции А, В, С являются постоянными, окончательно получаем:

Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Они представляют собой нелинейную систему трех дифференциальных уравнений первого порядка относительно проекций мгновенной угловой скорости