§ 2. Динамические уравнения Эйлера
Векторные уравнения, определяющие движение твердого тела, имеющего неподвижную точку
Применяя к телу, имеющему неподвижную точку, теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте, получим:
где М — масса тела,
— ускорение центра масс, R — главный вектор активных сил, приложенных к телу, — производная по времени от кинетического момента относительно неподвижной точки,
— реакция неподвижной точки, М — момент активных сил относительно этой точки. Реакция
момента относительно точки О не создает и потомуне входит в уравнение (17.2). Выражая кинетический момент
через углы Эйлера и их производные по времени и проектируя векторы равенства (17.2) на оси координат, получим три уравнения второго порядка относительно углов
, достаточные для определения их как функции времени и начальных условий. Следовательно, уравнение (17.2) представляет собой векторное дифференциальное уравнение, определяющее движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Определив в результате интегрирования уравнения (17.2) закон движения твердого тела, вычислим ускорение его центра масс
и тогда из уравнения (17.1) можно будет найти неизвестную реакцию
Специальный выбор осей координат, скрепленных с телом
Исследуем уравнение движения тела (17.2). Ранее были получены выражения для проекций кинетического момента на оси произвольной системы координат (глава 14, § 1), которые выражаются через проекции вектора угловой скорости и осевые и центробежные моменты относительно этих же осей. Причем система координат может быть произвольной: неподвижной или подвижной. Если в случае движения тела вокруг неподвижной точки выбрать неподвижные оси
то вследствие движения тело будет занимать различные положения относительно
осей и его моменты инерции относительно них будут изменяться.
Если же в качестве осей выбрать жестко связанные с телом подвижные оси
, то моменты инерции будут постоянными и их можно вычислить заранее (по заданной форме тела и заданному распределению масс в нем). Последнее обстоятельство существенно упрощает исследование, и поэтому такому выбору осей отдается предпочтение. Так как положение оссй
в твердом теле может быть произвольным, то выберем эти оси так, чтобы они являлись главными осями инерции тела в точке О. Этим достигается дальнейшее упрощение, так как центробежные моменты инерции обращаются в нуль и выражение для кинетического момента
существенно упрощается. Именно, будем иметь:
где
моменты инерции относительно главных осей;
— проекции мгновенной угловой скорости на эти оси.
Уравнение движения тела в подвижной системе координат
Итак, в качестве координатных осей при изучении движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, следует выбрать подвижную систему, оси которой будут направлены вдоль главных осей инерции тела в точке О.
Такая система координат, как говорилось ранее (глава 12, § 4), называется расчетной. Перепишем в ней уравнение движения (17.2). Для этого воспользуемся второй теоремой Резаля, согласно которой (17.2) можно записать в виде:
где
— абсолютная скорость конца вектора кинетического момента. Но из теоремы о сложении скоростей следует, что
где
— относительная и переносная скорости конца вектора кинетического момента. Таким образом,
является скоростью конца вектора
в подвижной системе
ипер — является скоростью той точки твердого тела, которая в данный момент совпадает с концом
. Из этого следует, что
Суммируя сказанное, теорема о моменте количества движения, записанная в подвижной системе координат
, в формулировке Резаля имеет вид:
где
— единичные векторы вдоль подвижных осей
, иогн есть производная по времени от кинетического момента, вычисленная в подвижной системе.
Динамические уравнения Эйлера
Проектируя векторное равенство (17.3) на оси
, получаем
Заменяя
выражениями через
и учитывая, что моменты инерции А, В, С являются постоянными, окончательно получаем:
Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Они представляют собой нелинейную систему трех дифференциальных уравнений первого порядка относительно проекций мгновенной угловой скорости