§ 3. Работа внутренних сил, действующих в системе
Выражение работы внутренних сил системы
Пусть система состоит из 
материальных точек. Вычислим работу внутренних, сил, действующих в этой системе. Обозначим силу, действующую на 
точку и вызванную 
точкой, через 
а силу, действующую на 
точку и вызванную 
точкой, через 
По третьему закону Ньютона эти силы будут равны и противоположны по направлению 
Пусть радиусы-векторы 
точек будут соответственно 
(рис. 112), а элементарные перемещения этих точек 
Элементарная работа сил 
будет:
Но
представляет собой радиус-вектор, соединяющий точку 
и 
(рис. 112). Следовательно:
Рис. 112
Векторы 
будут иметь одинаковое направление, если силы взаимодействия точек притягивающие, и 
будут диаметрально противоположные векторы, если силы взаимодействия точек
отталкивающие (рис. 112). Таким образом, элементарную работу 
можно записать в виде:
где 
— расстояние между точками системы, 
— представляет собой модуль сил взаимодействия точек системы, которому условно будем приписывать знак плюс, если силы взаимодействия притягивающие, и знак минус, если силы взаимодействия отталкивающие. Элементарная работа всех внутренних сил системы 
будет:
где суммирование распространяется на все пары значений 
и 
от 1 до 
, при этом 
и порядок индексов безразличен. Из приведенного равенства следует, что в общем случае механических систем сумма элементарных работ внутренних сил системы не равна нулю.
Однако если система неизменяема или представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю. Действительно, в этом случае расстояние 
между точками системы остается неизменным, и, следовательно, дифференциал 
будет равен нулю.
Работа внутренних сил, зависящих от расстояний между точками системы
В большинстве случаев внутренние силы системы зависят только от расстояния между взаимодействующими точками. В качестве примера можно привести внутренние силы, возникающие при упругой деформации тела, гравитационные силы, действующие между элементами солнечной системы, силы взаимодействия заряженных частиц и др.
В этих случаях
где 
— некоторая функция 
и элементарная работа будет
полным дифференциалом некоторой функции 
Отсюда элементарная работа всех внутренних сил будет:
Из полученного равенства следует, что внутренние силы в рассматриваемом случае консервативны и силовая функция их равна
Поэтому работа этих сил зависит только от начального и конечного состояний системы.
