Г. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ

ГЛАВА 11. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ И ИХ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Уравнения движения системы материальных точек

Необходимые и достаточные уравнения движения

Рассмотрим систему материальных точек, двигающихся в некоторой инерциальной системе координат. Пусть на точку системы действуют внешняя сила Ие) и сумма внутренних сил тогда уравнение движения этой точки будет описываться вторым законом Ньютона, который будет иметь вид:

Выписывая подобные уравнения движения для всех точек системы или меняя от 1 до получим уравнения, необходимые и достаточные для описания движения системы материальных точек.

Исключение внутренних сил

Как указывалось ранее, определение характера внутренних сил выходит за рамки теоретической механики. Поэтому исключим их из уравнений движения так же, как это делалось в статике. Для этого сложим уравнения движения и, умножив каждое из них векторно на соответствующий каждой точке радиус-вектор еще раз сложим, тогда получим два уравнения вида:

Но последние суммы, содержащие внутренние силы, обращаются в нуль, следовательно:

Итак, вместо системы уравнений (11.1), описывающих движение механической системы, имеем два уравнения (11.2) и (11.3), которые также описывают движение механической системы [так как они являются следствием (11.1)], но не полностью, так как из (11.2) и (11.3) не следуют уравнения (11.1). Таким образом, можно говорить, что (11.2) и (11.3) уравнения движения системы необходимые, но недостаточные.

Последние уравнения представляют собой основные уравнения раздела, посвященпого изучению движения произвольных механических систем, который носит название динамики системы.

При изучении этих уравнений предполагается, что представляют собой заданные силы, которые, как укаьывалось в динамике точки, в общем случае будут функциями времени положения точки и скорости точки

Изучению движения систем, в которые наряду с активными силами входят реакции связей посвящен специальный раздел.

Указанные основные уравнения движения — векторные. Проектируя векторы, входящие в них на оси координат, получим соответствующие шесть скалярных уравнений движения. Как указывалось в кинематике, движение абсолютно твердого тела определяется шестью независимыми параметрами. Поэтому можно предполагать, что в применении к абсолютно твердому телу уравнений (11.2) и (11.3) они будут необходимыми и достаточными для описания его движения. Последнее легко может быть доказано на базе результатов статики и принципа Даламбера.