§ 6. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в случае сил частного вида

Задачи параграфа

Как говорилось выше, сила в общем случае зависит от времени, положения точки и ее скорости. Однако в ряде практических случаев сила оказывается функцией лишь одного из этих аргументов. Кроме того, часто встречаются случаи, когда сила зависит от всех этих аргументов, но практически ее можно считать функцией лишь одного из переменных, так как остальные слабо влияют на движение. В этих случаях интегрирование уравнений движения существенно упрощается и часто может быть доведено до квадратур. Примеры этого и приведены в настоящем параграфе.

Сила, зависящая от времени

Пусть на точку массы действует сила зависящая только от времени t, и начальные условия точки имеют вид: при Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае запишем в виде:

Откуда

или

Вводя обозначение

запишем

Используя начальные условия, имеем

и

Откуда, возвращаясь к интегралу, получаем:

или

Разделяя переменные в последнем уравнении, интегрируя его и используя начальные условия, придем к уравнению вида:

Постоянная сила

В частном случае, если на точку действует постоянная сила притяжения Земли, то

и последнее уравнение преобразуется к виду:

Выберем начало координат так, чтобы в начальный момент точка находилась в начале координат, тогда Направим оси координат ху так, чтобы ось х была перпендикулярна а ось у направлена вертикально вверх, и начальная скорость точки лежала бы в плоскости ху и составляла угол а с осью х. Тогда

Проектируя теперь уравнение движения на оси х и у, получим скалярные уравнения движения вида:

Исключив из этих уравнений время t, найдем траекторию точки

Как следует из полученного уравнения, она является параболой, ось которой параллельна оси у. Эта парабола проходит через начало координат и направлена выпуклостью вверх (рис. 60). Приведенные выше уравнения описывают, например, движение центра тяжести снаряда, выпущенного под углом а к горизонту и летящего в безвоздушном пространстве. Поэтому представляет интерес определить дальность полета снаряда и высоту подъема снаряда.

Рис. 60 Дальность полета определяется значением абсциссы х при Используя уравнение траектории, найдем:

Из этой формулы видно, что дальность полета будет наибольшей при т. е. когда этом случае будем иметь:

Высота подъема снаряда определяется вершиной параболы. Так как ее абсцисса то

Умакс

Максимально возможное значение получается при вертикальной стрельбе (в зенит), т. е. при Оно равно

т. е. составляет половину максимально возможной дальности. При стрельбе на максимальную дальность ) высота равна

и составляет четверть максимальной дальности. Из уравнений движения точки в проекциях видно, что рассматриваемое движение можно получить посредством сложения равномерного движения вдоль оси х (со скоростью ) и равноускоренного движения вдоль оси у (с ускорением ).

Прямолинейное движение материальной точки

Прямолинейное движение материальной точки часто встречается в практике и благодаря этому результаты, полученные при рассмотрении его, могут найти непосредственное применение.

При движении точки по прямой, которую примем за ось х, ее ускорение, а следовательно, и приложенная сила направлены по этой прямой. В связи с этим уравнение движения можно записать в виде скалярного равенства:

где и — скалярные величины.

Прямолинейное движение в случае силы, зависящей от скорости

Рассмотрим прямолинейное движение точки, на которую действует сила, зависящая только от скорости. Уравнение движения в этом случае будет:

Начальные условия пусть по-прежнему имеют вид: при

Разделив переменные в уравнении движения, запишем:

Откуда интегрируя, имеем:

Обозначая

запишем

Подставляя начальные условия, найдем:

Тогда первый интеграл уравнения движения будет:

Допустим далее, что можно выразить из этого уравнения скорость в виде явной функции Тогда будем иметь:

после интегрирования получим

Обозначая

имеем:

Подставляя начальные условия, найдем в виде

и окончательно уравнение движения точки будет

Если из первого интеграла нельзя определить как явную функцию t, то поступаем следующим образом. Замечая, что

записываем дифференциальное уравнение движения в виде:

Отсюда, разделяя переменные, получим:

Обозначая

тогда

Подставляя начальные условия, найдем

и, следовательно,

Полученное соотношение представляет собой первый интеграл уравнений движения. Присоединяя его к ранее найденному первому интегралу, будем иметь два соотношения, которые можно рассматривать как параметрические уравнения точки. Исключив из них параметр получим явную зависимость х от t, т. е. закон движения точки. Таким образом, прямолинейное движение точки, находящейся под действием силы, зависящей от скорости, сводится к квадратурам.

Прямолинейное движение в случае силы, зависящей от положения точки

Пусть сила есть функция только координаты х. Тогда уравнение движения будет:

Непосредственного разделения переменных здесь получить нельзя. Однако первый интеграл этого уравнения можно получить при помощи приема, часто применяемого в динамике. Умножим обе части уравнения на Тогда будем иметь

или

Отсюда

Вводя начальные условия: при и обозначая

имеем

и, следовательно,

Решив это уравнение относительно получим.

Откуда, разделяя переменные, интегрируя и определяя постоянную, найдем:

Из последнего равенства, вообще говоря, можно определить х как функцию времени.