§ 2. Ограничения на скорость и ускорение, налагаемые геометрическими связями
Ограничения на скорости, налагаемые геометрической связью
Геометрические неосвобождающие связи, действующие на механическую систему, налагают ограничения и на скорости точек. Например, если точка должна все время находиться на поверхности, то составляющая скорости точки в направлении нормали к
поверхности должна равняться нулю. В общем случае, продиффе ренцировав соотношение (2.2) по времени, найдем:
Введем вектор, носящий название градиента связи в 
точке системы, обозначаемый 
и определяемый формулой:
Так как
то равенство (2.4) перепишем в виде:
Эти соотношения представляют собой ограничения, которые накладываются на скорости точек геометрической связью. Заметим, что эти ограничения наложены только на проекцию скорости материальной точки в направлении градиента связи.
В случае стационарных связей в равенствах (2.4) и (2.4) будет отсутствовать член 
Ограничения, наложенные на скорости точек твердого тела. Теорема Грасгофа
В качестве примера рассмотрим, каковы будут ограничения, наложенные на скорости точек абсолютно твердого тела.
Рассмотрим две произвольные точки абсолютно твердого тела 
находящиеся на расстоянии 
друг от друга. Уравнение связи, представляющее условие неизменности расстояния между 
запишем в виде:
где 
— координаты точки и 
координаты точки 
Дифференцируя уравнение связи 
найдем:
Вводя вектор, соединяющий точки 
и векторы скорости точек 
имеем:
Откуда
Полученное соотношение составляет содержание теоремы Грасгофа или теоремы о проекции скоростей двух точек твердого тела. Ее содержание следующее: проекции скоростей двух произвольных точек абсолютно твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой (рис. 27).
Рис. 27
Указанное соотношение между скоростями точек абсолютно твердого тела может служить кинематическим определением его. Изучая различные частные случаи движения твердого тела, характер распределения скоростей между его точками, можно полностью определить, используя соотношение (2.5). Теорема Грасгофа играет существенную роль при изучении движения твердого тела.
Ограничение на ускорение, накладываемое геометрической связью
Геометрическая связь накладывает ограничение и на ускорения точек механической системы. Действительно, дифференцируя
по времеии равенства (2.4), найдем:
Подставляя в последние равенства значения 
из выражения (2.4), получим соотношения, которые должны удовлетворять вектора ускорений точек механической системы, обладающей геометрическими связями.
Перепишем равенства (2.6) в более компактном виде, обозначая через 
два последних члена его:
Из равенств (2.6) следует, что накладываются ограничения только на проекцию вектора ускорения в направлении градиента связи в данной точке. Другие составляющие векторов ускорений точек механической системы могут быть произвольны. Например, если механическая система состоит из одной точки, расположенной на неподвижной плоскости, то ускорение этой точки в направлении, перпендикулярном плоскости, должно равняться нулю.
