§ 3. Свойства пространства и времени при относительном движении координатных систем, сравнимых со скоростью света

Изменение интервала времени при переходе от системы S к системе S

Как уже говорилось, из основного закона специальной теории относительности следует, что течение времени есть понятие относительное. Это заключение до сих пор носило только качественный характер. Располагая же преобразованием Лоренца, можно установить количественные соотношения, при помощи которых осуществляется переход от времени t в системе ко времени I в системе . Действительно, рассмотрим часы, покоящиеся в начале системы координат Время которое они показывают в называется собственным временем. Так как часы находятся в начале координат то координата Следовательно, из основных равенств

преобразования Лоренца имеем:

или

Последняя формула позволяет, находясь в системе в которой течение времени есть t, определить течение времени в системе

Подобным же образом, используя обратные преобразования Лоренца, можно определить течение времени t в системе если наблюдатель находится в системе где течение времени t. Именно:

Используя формулу (28.18), перейдем к интервалам времени и запишем:

Полученная формула указывает интервал времени часов, покоящихся в некоторой системе двигающейся относительно другой системы со скоростью выраженной через интервал времени второй системы

Из этих формул следует, что часы, покоящиеся относительно наблюдателя, кажутся ему идущими с наибольшей скоростью. Действительно, часу времени основной системы (правая часть формул) соответствует интервал собственного времени, меньший часа.

Изменение интервала времени при переходе от одной системы к другой получило непосредственное экспериментальное подтверждение при определении времени распада -мезонов. Поэтому изменение времени есть физическое свойство его течения.

Собственное время инерциальных координатных систем

Собственное время движущихся систем играет существенную роль в построении динамических уравнений движения. Поэтому

для него вводится специальное обозначение которое далее и будет использовано. Следовательно:

Относительность понятия одновременности двух событий в релятивистской механике

Продолжая дальнейшее исследование течения времени, рассмотрим понятие одновременности двух событий. Для этого сравним эти понятия в ньютонианской и релятивистской механике. Как указывалось, в ньютонианской механике следует положить скорость распространения света, равной бесконечности. Благодаря этому световой сигнал, извещающий о каком-либо событии, происшедшем в точке А, мгновенно информирует об этом наблюдателя, любым образом расположенного или двигающегося в пространстве. Если произошли события в двух точках А и В и сообщение об этом поступило одновременно в какую-либо точку С (рис. 147), то мы говорим, что эти события произошли одновременно. Но в ньютонианской механике эти события будут одновременными для всех любым образом расположенных или двигающихся наблюдателей. Совсем по-другому обстоит дело, если учитывать конечность скорости распространения света, как это имеет место в релятивистской механике. Действительно, информация о двух событиях, происшедших в точках А и В, может дойти одновременно до наблюдателей, расположенных симметрично (по прямой рис. 147) относительно этих точек (или это будут одновременные для таких наблюдателей события).

Рис. 147

Для наблюдателей же, расположенных не симметрично относительно А и В, эти события будут неодновременными. События в А и В также будут неодновременными для наблюдателей, движущихся в пространстве, если это движение не происходит вдоль (рис. 147). Таким образом, одновременность двух событий в релятивистской механике есть понятие относительное, зависящее от расположения и движения наблюдателя. Чтобы выяснить, как сказывается движение наблюдателя (находящегося в системе на оценку им одновременных событий в системе рассмотрим два события, происшедших в системе в точках с координатами и

Пусть эти два события произошли одновременно для наблюдателя, расположенного в начале координат и он фиксировал их по своим часам в момент времени Используя преобразования

Лоренца, найдем, что эти события для наблюдателя, находящегося в начале координат системы произойдут по его часам в моменты:

Гак как то одновременные для наблюдателя в системе события будут не одновременными для наблюдателя, находящегося в системе

Заметим, что если рассматриваемые события произошли в точках, расположенных на перпендикуляре к направлению движения системы относительно то одновременные в эти события будут одновременными и в

Эффект Лоренца — Фицджеральда

Помимо изменения интервала времени, следствием преобразования Лоренца для движущегося наблюдателя является уменьшение расстояний между точками (или уменьшение длины тел) в направлении движения для движущегося наблюдателя. Действительно, рассмотрим твердый стержень, покоящийся в системе имеющий длину и расположенный вдоль оси

где — координаты начала и конца этого стержня в системе Чтобы судить о длине этого стержня с точки зрения движущегося наблюдателя, необходимо одновременно измерить начало и конец этого стержня с точки зрения движущегося наблюдателя или часов в системе

Обращаясь к преобразованию Лоренца,

с тем, чтобы выполнить условие одновременности измерения координат начала и конца стержня для определения его длины в системе (что не соответствует, как указывалось ранее, одновременности этих двух событий в системе заменим в первом равенстве t на t, тогда:

Следовательно, координаты начала и конца стержня, измеренные в системе будут:

и его длина в системе которую обозначим через связана с I соотношением:

Таким образом, относительно движущейся системы стержень будет казаться укороченным в раз.

Если обратно рассматривать стержень длины V, покоящейся в системе вдоль оси то для наблюдателя в системе этот стержень будет укорочен в раз:

Указанный результат носит название эффекта Лоренца — Фицджеральда Лоренцева сокращения. Это сокращение не зависит от того, в каком направлении движутся вдоль оси z системы

Из преобразований Лоренца непосредственно следует, что размеры тел в направлениях, перпендикулярных к движению системы не изменяют своих размеров, если их рассматривать в системе или Подчеркнем, что формула Лоренцева сокращения есть следствие понятия одновременности и преобразований Лоренца.

Пример изменения времени при переходе от системы S к системе S'

Иллюстрируем эффект изменения времени, вызванный преобразованием Лоренца, на следующем примере.

Рассмотрим Солнце и Землю, которая вращается вокруг Солнца за период Т, названный годом. Свяжем с центром Солнца начало координат О системы S и направим оси этой системы ху так, чтобы они располагались в плоскости движения Земли (плоскости эклиптики) (рис. 148).

Рассмотрим некоторую звезду и планету, обращающуюся вокруг этой звезды. Выберем в центре звезды О начало координат системы оси которой ху расположим в плоскости движения планеты. Предположим, что система неподвижна относительно и оси ее параллельны осям системы Предположим, кроме что при неподвижности систем друг относительно друга звезда, планета и ее орбита совершенно идентичны со всеми характеристиками Солнца, Земли и ее орбиты. В частности, период обращения планеты вокруг звезды будет, так же как и для Земли, равен Т. Отсюда, наблюдатель в системе Солнца фиксирует, что время оборота Земли и время оборота спутника системы совпадают.

Рис. 148

Предположим теперь, что система движется относительно системы поступательно равномерно и прямолинейно вдоль положительного направления оси z со скоростью При этом предположим, что при будет выполняться условие Физически это значит, что когда плоскости совпадают, начинается отсчет времени в системах и Преобразование Лоренца, отвечающее рассматриваемым системам, будет:

где — неизменные (при движении 5) абсцисса и ординаты точки О в системе Пусть наблюдатель в системе Солнца сравнивает движение Земли с движением спутника. Согласно преобразованию Лоренца, интервал времени в будет связан с интервалом времени — в равенством:

Рассмотрим в системе интервал, соответствующий полному обороту Земли вокруг Солнца Г, а в системе 5 интервал, соответствующий полному обороту спутника вокруг звезды Т. Связь между этими величинами будет:

Следовательно, наблюдатель в системе Солнца обнаружит, что за один год или один оборот Земли вокруг Солнца Т спутник повернется вокруг звезды только на полоборота Обратно, если наблюдение ведется в системе звезды, то полному обороту спутника вокруг звезды Т будет соответствовать половина оборота Земли вокруг Солнца

Заметим, что изменение направлений движения систем и вдоль не изменит полученных результатов. Результаты также не изменятся, если орбиты Земли и спутника расположены соответственно в системах и произвольным образом.

Пример неодновременности двух событий в системе

Сохраняя схему предыдущего примера, рассмотрим две вспышки на поверхности Солнца, происшедшие одновременно в системе в момент времени в диаметрально противоположных точках А и В (рис. 149), с коордианатами

Рис. 149

В системе вспышка в точке В произойдет раньше начального момента времени в момент и вспышка в точке А произойдет позднее начального момента, в момент Следовательно, одновременные в системе события в системе будут отделены Друг от друга интервалом времени

Заметим, что если система движется в отрицательном направлении оси то ранее начального момента будет наблюдаться в вспышка в точке А, а потом вспышка в точке В.

Пример Лоренцева сокращения

В указанных примерах Лоренцево сокращение определяется по формуле:

Это значит, например, что круглое для наблюдателя солнечной системы Солнце для наблюдателя в системе будет сплюснуто вдоль оси z так, что его диаметр вдоль z вдвое меньше, чем диаметр, расположенный в плоскости Обратно, круглая для наблюдателя в системе звезда будет сплюснутой для наблюдателя, находящегося в солнечной системе.

О полете к звездам

Сохраняя условия предыдущих примеров, предположим, что в направлении осей и z расположена звезда (3) (рис. 149), расстояние которой до начала системы равно где с — скорость света и есть размерный коэффициент, выраженный в годах системы 5:

Тогда на основании предыдущего расстояние звезды до начала системы будет для наблюдателя солнечной системы:

Найдем, за какое время система достигнет звезды, если она движется в направлении звезды со скоростью . Фиксируя это событие по часам системы найдем по формуле:

Найдем, какое при этом пройдет время в системе Так как

то наблюдатель в системе определит время полета на звезду, равное 20 годам своей системы.

Следовательно, два младенца, родившиеся в начальный момент, общий для систем, связанной с Солнцем, и будут свидетелями того, что начало О достигло звезды (3). Но человек на Земле будет свидетелем этого события в возрасте 40 лет, а человек в системе 5 увидит это событие в возрасте 20 лет.

Следует заметить, что если человек в системе будет за время своего полета к звезде (3) следить за младенцем на Земле, то он обнаружит, что в момент достижения им звезды (3) младенец на Земле достигнет только десятилетнего возраста.

В разобранном примере следует подчеркнуть, что наблюдатели в системах и (см. рис. 149) не могут установить, движется ли система относительно и звезды, с ней связанной, или система движется относительно

В частности, в рассмотренном примере для того, чтобы система ушла от на расстояние необходимо, как указано, 40 лет Обратно, чтобы система 5 ушла от на расстояние такл? необходимо 40 лет.

Разобранные примеры с точки зрения преобразования Галилея

Сохраняя схему разобранных примеров, рассмотрим, как развиваются в них события с точки зрения преобразования Галилея. В системах 5 и Земля и планета будут обращаться соответственно вокруг Солнца и звезды с одинаковыми периодами независимо от того, движутся или покоятся эти системы одна относительно другой. Одновременные на поверхности Солнца в любом месте вспышки будут фиксироваться как одновременные собьгоп в движущейся системе Солнце и звезда будут шаровидны для обоих наблюдателей системы и Корабль (система летящий к звезде (3), долетит до звезды за 40 лет, как для земного наблюдателя, так и для наблюдателя, находящегося на корабле.