§ 3. Формула Кенига

Формула Кенига в общем случае

Вычисление кинетической энергии системы

в ряде случаев удобно производить, раскладывая движение системы на два движения: поступательное вместе с центром масс и относительно центра масс. Обозначим через радиус-вектор точки системы относительно неподвижного полюса О (рис. 114), а через радиус-вектор той же точки относительно центра масс . Радиус-вектор центра масс обозначим через

Тогда будем иметь:

и, следовательно,

где — скорость точки, — скорость центра масс, — скорость точки относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Рис. 114

Кинетическую энергию теперь можно записать в виде:

Первая сумма первой части этой формулы равна

где — масса всей системы.

Вторая сумма представляет собой кинетическую энергию системы в ее движении относительно центра масс. Обозначив ее через Т, будем иметь:

Наконец, третья сумма равна

Но сумма представляет собой статический момент системы относительно ее центра масс, равный, как указывалось, нулю. Следовательно,

и в результате получаем

Полученное равенство называется формулой Кенига для произвольной системы материальных точек: кинетическая энергия системы материальных точек равна кинетической энергии ее центра инерции в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системы плюс кинетическая энергия системы относительно начала системы координат, оси которой параллельны осям заданной координатной системы, и начало расположено в центре масс.

Формула Кенига в случае частных движений системы

Пусть система материальных точек движется поступательно, тогда отсюда

В этом случае

Пусть система материальных точек неизменна или представляет собой абсолютно твердое тело, и это тело вращается вокруг неподвижной точки. Тогда скорость любой точки этого тела будет

где — радиус-вектор рассматриваемой точки относительно неподвижной точки О, — мгновенная угловая скорость тела (рис. 115). Обозначив угол между через получим:

Но есть расстояние данной точки до мгновенной оси вращения. Обозначив его через запишем кинетическую энергию

твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, в виде:

Сумма как указывалось ранее, называется моментом инерции тела относительно оси вращения. В данном случае относительно мгновенной оси вращения.

Рис. 115

Таким образом,

и кинетическая энергия имеет вид

или, кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна половине произведения его момента инерции относительно мгновенной оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Рассмотрим общий случай движения абсолютно твердого тела. Это движение, как указывалось, можно рассматривать как составленное из поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения вокруг центра масс. Отсюда

где — мгновенная угловая скорость тела, — его момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс. Обращаясь к формуле Кенига, имеем:

Полученное равенство является формулой Кенига для твердого тела. Смысл ее заключается в том, что она позволяет вычислить кинетическую энергию твердого тела в общем случае его движеиия.