§ 3. Скорость точки

Определение вектора скорости

Важной характеристикой движения точки является скорость перемещения ее в пространстве.

Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется радиусом-вектором (рис. 20). За промежуток времени точка перемещается в положение . Вектор, характеризующий перемещение точки, равен Вектор определяемый равенством:

называется вектором скорости (или просто скоростью) точки М в момент времени t или вектор скорости равен первой производной от радиуса-вектора по времени.

Рис. 20

Заметим, что правило дифференцирования применено здесь к вектору в любой момент времени приложенному к точке О. Вектор по своему физическому смыслу характеризует движение точки и приложен к этой точке.

Выражение вектора скорости через проекции

Представив векторы и через их проекции соответственно равенство (1.4) перепишем в виде:

Эта формула представляет собой разложение вектора скорости на составляющие вдоль координатных осей. Из нее следует:

Полученные выражения определяют вектор скорости через его проекции на оси декартовой системы координат. Если уравнения движения заданы в виде (1.1), то их можно непосредственно вычислить. Отсюда требование дифференцируемости функций (1.1), указанное в предыдущем параграфе, равносильно существованию определенного вектора скорости точки в каждый момент времени.

Модуль и направление вектора скорости

Модуль вектора скорости определяется формулой:

Направление определяется его направляющими косинусами:

Алгебраическая скорость точки

Скорость принадлежит к величинам, характеризующим само движение, и она одинакова в любых неподвижных друг относительно друга системах координат. Чтобы убедиться в этом, запишем вектор скорости в виде:

где - длина дуги, пройденной точкой по траектории за время Так как при величина также стремится к нулю, то можно написать:

Предел отношения вектора к стягиваемой им дуге при равен единичному касательному вектору Следовательно:

и

Отсюда, численная величина скорости определяется производной от дуги траектории по времени и направлена она по касательной к траектории. Так как длина дуги, проходимая точкой за время и траектория остаются неизменными во всех неподвижных друг относительно друга координатных системах, то скорость не зависит от неподвижной системы координат.

В случае естественного задания движения можно непосредственно вычислить произвольную Знак ее определяет движение точки в сторону возрастания дуги или в сторону убывания ее обозначим через

и назовем алгебраической скоростью точки. Из формулы (1.5) следует, что размерность скорости будет