§ 2. Силовое поле и его частный случай — потенциальное поле

О вычислении полной работы силы

В общем случае, как неоднократно указывалось, сила зависит от трех переменных и t. Поэтому полную работу, которую запишем в виде:

можно вычислить, если будут известны уравнения движения точки в конечном виде

так как в этом случае определение полной работы силы сводится к интегрированию функции одного переменного. Однако, в частных случаях сил полная работа может быть вычислена, если неизвестны уравнения движения точки. Рассмотрению этих случаев и посвящен настоящий параграф.

Силовое поле

В природе и технике, как уже указывалось, часто встречаются силы, зависящие только от положения точки. Эти силы называются позиционными и записываются в виде:

или в проекциях

Пространство или его часть, в каждой точке которого на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая только от положения точки, называется силовым полем.

Характер силового поля зависит от вида функций, определяющих зависимость силы от положения точки. Таким образом, силовое поле полностью задается этими функциями.

Силовые линии

Пусть задано какое-нибудь силовое поле (рис. 109). Выберем в нем любую точку и отложим от нее вектор изображающий силу, действующую в рассматриваемой точке поля. Возьмем далее точку близкую к и лежащую на линии действия силы . Из этой точки отложим вектор изображающий силу, действующую в точке Затем на линии действия силы отметим точку близкую к и отложим от нее вектор силы Продолжая этот процесс далее, получим ломаную, проходящую через точки Переходя затем к пределу посредством стремления к нулю расстояний получим плавную кривую, которая называется силовой линией. В каждой своей точке М силовая линия касается вектора изображающего силу, действующую в этой точке поля. Через каждую точку поля проходит, вообще говоря, только одна силовая линия.

Рис. 109

Так как силы поля направлены по касательным к его силовым линиям, то в любой точке силовой линии векторы коллинеарны. Следовательно:

где - некоторая скалярная функция вектора Последнее векторное равенство можно записать в виде трех скалярных равенств:

Откуда исключая приходим к уравнению:

которое определяет семейство силовых линий. Произведя интегрирование двух уравнений, содержащихся в последнем равенстве при соответствующих начальных условиях, получим уравнение силовой линии, проходящей через данную точку.

Полная работа сил, принадлежащих силовому полю

Вычислим работу, совершаемую силами поля при перемещении в этом поле материальной точки на участке от А до В. Пусть эта точка движется по траектории, определяемой уравнениями:

и пусть координаты точки А будут , а точки

Из уравнений траектории найдем:

и

Для вычисления полной работы силы воспользуемся выражением:

которое в рассматриваемом случае приобретает вид: в

Последний интеграл может быть вычислен.

Итак, если силы принадлежат к силовому полю, то для вычисления полной работы силы достаточно знать только траекторию точки на участке от А до В. Работа сил, принадлежащих силовому полю, не зависит от закона движения по траектории.

Потенциальное силовое поле

Из всех силовых полей особый интерес представляют такие, в которых элементарная работа силы поля является полным дифференциалом некоторой функции . Эти силовые поля называются потенциальными. Они часто встречаются в природе и технике. Из определения потенциального поля следует, что

Но

и для выполнения предыдущего равенства необходимо и достаточно, чтобы

т. е. проекции силы на оси равны частным производным скалярной функции по соответствующим независимым переменным. Функция называется силовой функцией поля.

Из введения функции следует, что она определяется с точностью до произвольной постоянной. Итак, в случае потенциального поля сила равна:

или, как говорят, сила является потенциальной или градиентной функцией. Принято и другое название: силы, образующие потенциальное поле, называются консервативными.

Точки силовых полей, для которых равенство нарушается, называются особыми точками поля.

В силовом поле с особыми точками силовые линии могут быть замкнутыми.

Критерий потенциальности поля

По виду проекций силы на оси, зависящих от не всегда можно сразу сказать, является ли рассматриваемое поле потенциальным. Однако из равенств

можно получить критерий для решения этого вопроса. Действительно, дифференцируя эти равенства и комбинируя их, найдем

Следовательно, эти равенства выражают необходимые условия потенциальности поля. Можно доказать, что они являются и достаточными. Поэтому найденные условия могут служить критерием потенциальности поля.

Поверхности уровня

Силовая функция потенциального поля есть функция координат полагая эту функцию равной постоянной величине, получаем уравнение

определяющее поверхность, во всех точках которой силовая функция сохраняет заданное значение. Изменяя величину с, получаем бесконечную совокупность поверхностей, на каждой из которых функция не изменяет своего значения. Эти поверхности называются поверхностями уровня.

Таким образом, все потенциальное поле можно заполнить поверхностями уровня и через каждую его точку будет проходить одна такая поверхность. Поверхность уровня однозначно определяется координатами точки, через которую она проходит. Так как силовая функция определяется с точностью до произвольной постоянной, то нулевое значение постоянной с можно приписать любой из поверхностей уровня. Все другие поверхности при этом будут иметь вполне определенные значения силовой функции.

Расположение силовых линий поля по отношению к поверхностям уровня

Выберем какую-либо поверхность уровня и вычислим элементарную работу силы поля при перемещении точки по этой поверхности. Так как

и при перемещении по поверхности уровня

то

Полученное равенство должно быть справедливо для любого вектора лежащего в касательной плоскости к поверхности в данной точке.

Отсюда следует, что вектор перпендикулярен этой плоскости, т. е. перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через рассматриваемую точку. С другой стороны, вектор направлен по касательной к своей силовой линии. Отсюда следует, что силовые линии поля ортогональны поверхностям уровня.

Проекция консервативной силы на произвольное направление

Рассмотрим произвольную точку поля и проведем через нее луч, определяемый единичным вектором Проекция на это направление силы равна

Проекции единичного вектора на координатные оси равны его направляющим косинусам, следовательно,

где длина, измеряемая вдоль рассматриваемого луча.

Таким образом,

где — производная функции по направлению. Итак, приходим к теореме: проекция консервативной силы на любое направление равна производной силовой функции по этому направлению.

Теорема Кельвина

Выберем в качестве направления единичный вектор п°, направленный нормально к поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции. Тогда

и производная положительна. Следовательно, проекция вектора на направление п° также положительна. Но так как вектор коллинеарен вектору то вектор направлен в сторону возрастания силовой функции. Модуль силы равен:

Следовательно, он может служить мерой быстроты возрастания функции при перемещении по нормали к поверхности уровня.

Последнему равенству можно дать наглядную интерпретацию. Рассмотрим две бесконечно близкие поверхности уровня и и обозначим через расстояние между ними, измеренное по нормали. Заметим, что в общем случае в разных точках этих поверхностей это расстояние будет различным. Тогда рассматриваемое равенство можно записать в виде:

Отсюда следует теорема Кельвина, которая гласит: величина консервативной силы обратно пропорциональна отрезку нормали между двумя близкими поверхостями уровня, отличающимися друг от друга на заданное значение . Эта теорема позволяет наглядно изображать потенциальные поля посредством системы поверхностей уровня, отличающихся друг от друга на постоянную величину силовой функции. В тех местах поля, где эти поверхности располагаются гуще, сила будет больше и наоборот.

Полная работа сил потенциального силового поля

Вычислим полную работу консервативной силы, действующей на материальную точку при перемещении ее из положения А в положение В. Пусть через точку А проходит поверхность уровня а через точку В поверхность уровня , тогда

Эта формула выражает следующий важный результат: полная работа консервативной силы не зависит от траектории точки и от ее закона движения, а определяется лишь значениями силовой функции в начале и конце пути и равна разности этих значений. Следовательно, вычисление полной работы консервативной силы требует только задания начала и конца пути и задания силовой функции поля.

Если точка движется в потенциальном поле по замкнутому контуру, то начальная и конечная точка в этом случае совпадают

и

Таким образом, при перемещении по замкнутому контуру работа консервативной силы равна нулю.

Сложение потенциальных полей

Если поле образовано силой

и каждая из сил является консервативной, то сумма этих сил также принадлежит консервативному силовому полю. Действительно, так как работа равнодействующей равна сумме работ составляющих, то можно записать

и, следовательно,

где

Таким образом, при сложении потенциальных полей их силовые функции складываются.

Распространение понятия силовой функции на систему материальных точек

Пусть система состоит из материальных точек, координаты которых будут Обозначая равнодействующую сил, приложенных к точке через элементарную работу всех сил, действующих на систему, запишем в виде:

Силы, действующие на систему, называются консервативными, если существует функция удовлетворяющая равенству:

Функция называется силовой функцией. Из последнего равенства следует, что силовая функция должна удовлетворять условиям:

Работа консервативных сил при перемещении системы из положения А в положение В равна:

где значения силовой функции в положениях А и В. Из последнего равенства следует, что работа консервативных сил, действующих на систему, не зависит от траекторий ее точек и законов их движений, а определяется только изменением силовой функции при рассматриваемом перемещении.

Примеры потенциальных полей

Простейшим примером консервативной силы является сила тяжести, действующая вблизи поверхности Земли.

Рис. 110

Рис.

Действительно, располагая оси координатной системы так, чтобы ось z была вертикальна, а оси располагались в горизонтальной плоскости, проекции силы тяжести, действующей на материальную точку, запишем в виде (рис. 110):

Используя критерий потенциальности поля, убеждаемся, что рассматриваемая сила консервативна.

Найдем силовую функцию. Так как в рассматриваемом случае

то из первых равенств заключаем, что не зависит от х и у, и, следовательно, последнее равенство может быть записано в виде:

Откуда

где С — произвольная константа.

Поверхности уровня в рассматриваемом случае определяются уравнением

или это будет семейство горизонтальных поверхностей. Силовыми линиями служат вертикальные прямые.

Упругие силы, играющие значительную роль в технических задачах, принадлежат также к потенциальному полю. Действительно, так как (рис. 111):

то проекции упругой силы по осям координат будут

Используя критерий потенциальности поля, убеждаемся, что сила упругости консервативна.

Найдем силовую функцию из соотношений

Из первого равенства имеем, что

где — произвольная функция от Дифференцируя последнее равенство по у и используя второе уравнение, запишем:

Откуда

где — произвольная функция z. Итак,

Дифференцируя это равенство по z и подставляя его в запишем

Откуда

где С — произвольная постоянная.

Таким образом, окончательно имеем:

Так как

где — расстояние точки от начала координат, то можно еще записать в виде:

Поверхности уровня в рассматриваемом случае определяются уравнением:

которое представляет собой семейство концентрических сфер. Силовыми линиями этого потенциального поля будут лучи, выходящие из начала координат.