§ 4. Теорема импульсов

Значение теоремы импульсов

Теорема о количестве движения позволяет как следствие ее получить так называемую теорему импульсов. Эта теорема весьма широко применяется в инженерной практике. С общетеоретической точки зрения теорема импульсов представляет интерес с той точки зрения, что она позволяет просто указать те частные случаи, когда изучаемое общее уравнение движения системы допускает первый интеграл уравнений движения.

Элементарный и полный импульс силы

Введем предварительно понятие об импульсе силы. Элементарным импульсом силы действующим в течение времени называется вектор, равный произведению на

Так как сила зависит от времени, положения точки и ее скорости, то элементарный импульс в общем случае не является полным дифференциалом некоторой функции, поэтому его принято обозначать через Итак:

Рассмотрим далее действие силы в течение конечного промежутка времени Разобьем этот промежуток на ряд малых промежутков и составим элементарные импульсы сил для каждого из этих промежутков.

Полным импульсом силы называется предел, к которому стремится сумма полученных элементарных импульсов при стремлении к нулю каждого из промежутков Обозначая полный импульс вектором имеем:

или

Если рассматривать одновременное действие нескольких сил , то, составляя для каждой из них импульс

и складывая их, получим импульс системы сил в виде суммы

или

где R — главный вектор системы действующих сил. Следовательно, полный импульс системы сил равен импульсу главного вектора этой системы.

Теорема импульсов

Перейдем теперь к теореме импульсов. Пусть за время — к система материальных точек перешла из положения в положение (2). Запишем теорему о количестве движения в виде:

Проинтегрировав это уравнение, получаем:

где — количество движения системы в положении в положении (2). Первая часть последнего равенства представляет собой полный импульс главного вектора всех внешних сил, приложенных к системе. Последнее равенство составляет содержание теоремы импульсов, которая формулируется следующим образом: изменение количества движения системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора всех действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Теорема импульсов представляет собой векторное равенство, проектируя его на оси прямоугольной системы координат, получим три скалярных равенства.

Для одной точки теорема импульсов в векторной форме записывается в виде:

где — равнодействующая внешних сил, приложенных к точке, — скорости точки в моменты

Особенности теоремы импульсов и пример ее применения

Отметим характерные особенности теоремы импульсов. Во-первых, из этой теоремы следует, что изменение количества движения системы может происходить только под действием внешних сил.

Если из эксперимента известно, что в результате каких-то процессов (не обязательно чисто механических) происходит изменение количества движения, то, следовательно, эти процессы сопровождаются действием внешних сил на систему.

Во-вторых, теорема импульсов связывает между собой лишь начальное и конечное состояния системы, минуя все промежуточные состояния в интервале от до (2. Это обстоятельство указывает на недостаточность теоремы импульсов для описания всех подробностей движения системы. Вместе с тем она в ряде случаев позволяет определять действующие на систему силы независимо от внутренних процессов, происходящих в системе.

Теорема импульсов с успехом применяется в тех случаях, когда состояние системы известно в какие-либо два момента времени и не известен процесс перехода от одного состояния к другому.

В качестве примера рассмотрим газ, текущий через нагретый участок цилиндрической трубы. Из эксперимента известно, что скорость газа при этом возрастает. Поэтому количество движения массы газа, проходящей через этот участок, увеличивается. Следовательно, на этом участке действует сила, приложенная к газу в направлении его движения. Эта сила обусловливается падением давления газа на протяжении нагретого участка (давление газа в начале этого участка больше, чем в конце, даже если не учитывать сил трения).

Заметим, что в этом примере не обязательно знать, с какой интенсивностью происходит нагрев трубы, как осуществляется передача тепла и т. д. Чтобы судить о возникающих здесь силах, достаточно найти изменение количества движения газа на рассматриваемом участке трубы.

Теорема импульсов, как первый интеграл уравнений движения

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что задано изменение количества движения и ищутся силы, действующие на

систему. Рассмотрим теперь обратную задачу, предположим, что заданы силы, действующие на систему, и ищется изменение количества движения ее. Интегралы, входящие в теорему импульсов, могут быть вычислены, если главный вектор сил представлен в виде явной функции времени , либо если он постоянен. Так как главный вектор системы внешних сил в общем случае зависит от времени положения точек системы и их скоростей, то полный импульс может быть вычислен, если известны уравнения движения точек системы в конечном виде и, таким образом, известны координаты точек и их скорости как явные функции времени. Но в этом случае необходимость в уравнении импульсов отпадает, так как движение системы известно, а теорема импульсов в конечном счете служит для получения уравнений движения.

Если сила зависит только от времени или постоянна, то интеграл теоремы импульсов может быть вычислен непосредственно. В этом случае теорема импульсов дает первый интеграл уравнений движения системы и только в этих случаях она фактически и имеет смысл при рассмотрении задачи о нахождении движения по заданным силам.

Если главный вектор всех внешних сил системы постоянен, то теорема импульсов может быть записана в виде:

Если главный вектор всех внешних сил в течение интервала времени равен нулю, т. е. система замкнута, то количество движения системы остается постоянным:

Этот результат справедлив и для проекции количества движения на какую-либо ось. Именно, если в течение интервала времени проекция главного вектора внешних сил на ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось остается постоянной в течение всего интервала времени