§ 2. Теорема о кинетическом моменте в неинерциальной системе координат

Теорема о кинетическом моменте

Умножая векторно каждое из равенств (12.1) на соответствующий радиус-вектор точки в неинерциальной подвижной системе координат и суммируя все эти равенства, получим:

Преобразуем члены этого уравнения

где — момент количества движения систем в неинерциальной неподвижной системе координат;

где — главный момент всех внешних сил:

Далее

и

Следовательно, окончательно имеем:

Полученное соотношение составляет содержание теоремы о кинетическом моменте системы в неинерциальной или подвижной системе координат. Последние две суммы равенства (12.6) являются поправками на неинерциальность координатной системы. Аналогично доказанному для инерциальной системы координат, уравнения (12.4) и (12.6) являются необходимыми и достаточными для описания движения твердого тела в неинерциальной системе координат; для любой механической системы они будут только необходимыми.

Частный вид теоремы о кинетическом моменте в неинерциальной системе

Рассмотрим частный случай подвижной неинерциальной системы координат, которая движется поступательно с ускорением относительно инерциальной системы и начало которой совпадает с центром масс системы. Тогда и

Но если начало подвижной системы выбрано в центре масс механической системы, то

Следовательно, обозначая в этом случае имеем

Теорема о кинетическом моменте в системе координат, двигающейся поступательно, имеющей начало в центре масс системы, формулируется так же, как и для инерциальной системы.

Применение теоремы о кинетическом моменте к вращению тела вокруг оси, сохраняющей неизменное расположение в пространстве, проходящей через центр масс системы

Теорема о кинетическом моменте сохраняет свой вид, если все моменты подсчитывать относительно центра масс системы. Применяя ее для вращения механической системы относительно неподвижной оси, проходящей через центр масс, получим результаты, указанные ранее (см. стр. 210). В частности, если момент внешних сил относительно оси, неизменно расположенной в пространстве, проходящей через центр масс, равен нулю, то кинетический момент

системы относительно этой оси остается неизменным. Отсюда следует, что при помощи одних только внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, изменяя момент инерции ее.

В качестве примера рассмотрим акробата, который, изменяя момент инерции своего тела, увеличивает угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести его тела. Это осуществляется следующим образом. Отталкиваясь от трамплина, акробат, делающий сальто, приобретает некоторый кинетический момент. В воздухе он прижимает руки и колени к своему телу, уменьшая таким образом свой момент инерции и заметно увеличивая свою угловую скорость. В результате он за время полета успевает совершить один или два оборота.

В качестве примера, вызывающего поворот тела вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести под действием внутренних сил, можно указать падающую кошку. Известно, что будучи произвольным образом брошена она, манипулируя частями своего тела, сообщает себе нужный поворот и всегда падает на лапы.