§ 4. Скобки Пуассона

О методе Пуассона

Настоящий параграф посвящен методу Пуассона, который позволяет по двум известным независимым интегралам уравнения движения построить третий интеграл. В некоторых случаях с помощью этого метода можно полностью проинтегрировать уравнения движения.

Зависимые интегралы уравнений движения

Пусть

есть интеграл канонических уравнений движения. Тогда любая функция Ф от равная постоянной, будет также интегралом канонических уравнений, или:

так как при удовлетворяющих каноническим уравнениям, следовательно, и будет константой, как следует из последнего равенства.

Два интеграла будут зависимыми, если они удовлетворяют последнему равенству.

Независимые интегралы уравнений движения

Два интеграла уравнений движения называются независимыми, если между ними не существует связи вида:

Условие, которому должна удовлетворять функция канонических переменных для того, чтобы являться первым интегралом

Найдем условие, которому должна удовлетворять функция канонических переменных для того, чтобы равенство представляло интеграл канонических уравнений.

Пусть будет интеграл. Дифференцируя это равенство по найдем:

Подставляя в это равенство из канонических уравнений движения найдем:

Последнее соотношение есть необходимое условие того, что равенство представляет интеграл канонических уравнений движения. Это условие является также и достаточным. Действительно, пусть удовлетворяет написанному тождеству, и -каноническим уравнениям движения. Тогда равенство (22.6) можно записать в виде (22.5), а из него будет следовать, что для удовлетворяющим каноническим уравнениям, или есть первый интеграл канонических уравнений.

Скобка Пауссона

Сумма вида

где зависят от обозначается кратко через и носит название скобки Пуассона.

Условие (22.6) через скобки Пуассона может быть записано в виде:

Свойства скобок Пуассона

Свойства скобок Пуассона позволяют указать метод построения нового интеграла канонических уравнений по двум заданным интегралам.

1) При перестановке функций и скобка Пуассона меняет свой знак

Это свойство вытекает из определения скобки Пуассона.

2) Знак минус можно выносить за скобку Пуассона:

3) Если одна из функций есть константа, то скобка Пуассона равна нулю:

4) Частная производная по t от скобки Пуассона вычисляется как производная от произведения двух функций.

Докажем это:

5) Для любых трех функций справедливо тождество Пуассона, которое имеет вид:

Это тождество можно доказать непосредственным вычислением, что, несмотря на свою простоту, является громоздким. Чтобы сократить эти вычисления, можно воспользоваться следующими соображениями. Если раскрыть тождество Пуассона, то каждый его член будет содержать в качестве множителя одну вторую производную от какой-либо из трех функций Поэтому, если доказать, что вторые производные не входят в исследуемое выражение,

то это будет означать, что тождество Пуассона справедливо. Но так как функции входят в это тождество симметрично, то достаточно доказать, что в нем отсутствуют вторые производные, например от функции . Далее, легко видеть, что эти производные могут входить только в два последних члена тождества. Следовательно, достаточно показать, что выражение

не содержит вторых производных от функции Последнее легко проверяется и не влечет за собой громоздких вычислений.

Теорема Пуассона о построении первого интеграла уравнений движения по двум заданным

Теорема Пуассона: если будут независимыми интегралами канонических уравнений движения, то скобка Пуассона, составленная из и также будет интегралом канонических уравнений. Итак, если есть интеграл канонических уравнений, то должно выполняться следующее равенство:

Докажем его. Так как есть интегралы канонических уравнений движения, то справедливы следующие равенства:

Запишем тождество Пуассона для трех функций Н, и или

Но или

следовательно, рассматриваемое тождество можно записать в виде

Используя дальше свойства скобок Пуассона (1), (2), (3), имеем:

или, возвращаясь к исходному тождеству, окончательно получим:

Таким образом, теорема доказана.

Построение решений канонических уравнений для систем частного вида

Воспользуемся теоремой Пуассона для построения интегралов канонических уравнений движения для случая, когда Я не зависит явно от времени. В этом случае, как указывалось раньше, имеет место интеграл вида:

Предположим, что для этой системы известен также интеграл вида:

Тогда на основании теоремы Пуассона равенство

также будет интегралом канонических уравнений (если не равно тождественно константе). Но так как есть условие существования интеграла канонических уравнений, то справедливо равенство:

которое в сочетании с предыдущим дает

Следовательно, если Н не зависит от времени и известный интеграл уравнений движения есть явная функция времени, то частная производная от будет также первым интегралом уравнений движения. Подобным же образом можно доказать, что интегралами будут являться равенства:

если эти производные не являются тождественными постоянными.

Интегралы, принадлежащие к инволюционной системе

Если не зависит от времени явно, то , следовательно,

не будет уже интегралом канонических уравнений. В общем случае, если скобка Пуассона, составленная из двух интегралов, тождественно обращается в нуль, то теорема Пуассона не дает первого интеграла. Интегралы канонических уравнений, обладающие последним свойством, носят название интегралов, принадлежащих к инволюционной системе.