§ 2. Второй закон Ньютона в специальной теории относительности

Мировая скорость. Вектор 4-скорости

Как указано, обобщение понятий трехмерного мира и приводит в мире Минковского к понятиям . Так как в трехмерном пространстве при помощи дифференциальных операций с и t определяется понятие скорости, при помощи можно ввести понятие вектора аналогичного определяемого равенством:

Вектор можно назвать мировой скоростью или вектор 4-скорости. Этот вектор инвариантен относительно преобразований Лоренца, так как инвариантны относительно этого преобразования Квадрат вектора-скорости постоянен и равен:

Следовательно, модуль мировой скорости есть мнимая постоянная величина

Мировое ускорение — вектор 4-ускорения

Подобно мировой скорости можно ввести понятие мирового ускорения или вектора 4-ускорения, которое является обобщением понятия вектора ускорения трехмерного пространства. Мировое ускорение будет:

Количество движения или импульс

В ньютонианской механике принято, что с каждой материальной точкой связана некоторая инвариантная скалярная величина которая называется ее массой. В специальной теории относительности масса входящая в ньютонианскую механику, называется массой покоя точки. Эта величина, присущая каждой материальной точке ньютонианской механики, инвариантна относительно любых преобразований. Следовательно, она инвариантна и относительно преобразований Лоренца. Поэтому будет инвариантная величина относительно преобразований Лоренца. Обозначая

естественно назвать ее 4-вектор количества движения или 4-вектор импульса.

Составляющими вектора количества движения будут:

Вектор есть обобщение понятия количества движения или импульса точки в трехмерном пространстве на пространство Минковского.

Первые три координатные составляющие количества движения в мире Минковского представляют собой обобщение понятия количества движения классической механики на мир Минковского. Механический смысл четвертой составляющей количества движения мира Минковского будет выяснен позднее.

Обозначая через модуль пространственных составляющих вектора найдем соотношение между квадратами модулей обоих векторов в виде:

где

Второй закон Ньютона в мире Минковского

Второй закон Ньютона является основой динамического поведения материальных точек, поэтому в мире Минковского резонно ввести обобщение этого закона, который при малых скоростях точки обращается в классический второй закон Ньютона. Обобщения кинематических элементов этого закона, введенные выше, позволяют сформулировать основной динамический закон специальной теории относительности в виде: произведение массы покоя точки на вектор мирового ускорения равен четырехмерному вектору силы.

Обозначая последний через сформулированный закон запишем в виде:

или, переходя от дифференциала собственного времени к дифференциалу времени t координатной системы, в которой изучается движение точки, запишем:

Обобщенный закон Ньютона в мире Минковского следует рассматривать как определение вектора силы в этом мире, так как последний ранее никак не был определен. Этот закон можно назвать четырехмерным законом Ньютона.

В основу записи этого закона было положено условие инвариантности его при преобразованиях Лоренца, которое выполнено. Теперь перед нами стоит задача, как определить силу F мира

Минковского, чтобы сформулированный закон обращался при с или при во второй закон Ньютона.

Пространственные компоненты четырехмерного вектора силы мира Минковского

Вектор силы имеющий, как следует из уравнений (29.1), четыре компоненты, коротко называется вектором -силы.

Чтобы исследовать, что собой представляет этот вектор, рассмотрим первоначальные его проекции на пространственные координаты, которые будут иметь вид:

Или, вводя вектор количества движения, последние равенства запишем в виде:

Сравнивая последние уравнения с уравнениями движения Ньютона в трехмерном пространстве, которые имеют вид:

заключаем, что с компонентами вектора силы ньютонианской механики должны быть связаны соотношениями:

Релятивистский второй закон Ньютона

На основании определения второй закон Ньютона специальной теории относительности в проекциях на пространственные координаты записывается в виде:

или в векторной форме в трехмерном пространстве последние уравнения могут быть представлены в виде:

Из предыдущего следует, что на смену второго закона Ньютона классической механики вида:

в специальной теории относительности имеет место закон вида (29.2).

Как следует из равенства (29.2), при (или ) оно обращается в равенство (29.3). Таким образом, выполнено условие обращения искомого закона релятивистской механики в предельном случае во второй закон Ньютона.

Закон (29.2) является одним из основных равенств специальной теории относительности. Коротко его можно назвать релятивистским вторым законом Ньютона.

Характерной особенностью релятивистского закона, отличающего его от закона Ньютона, является то, что вектор ускорения не направлен вдоль вектора силы.

В случае изолированной точки так же как и в ньютонианской механике, имеет место закон сохранения количества движения (импульса) вида:

который при обращается в классический закон сохранения количества движения.

Релятивистская масса точки

Величина

обозначаемая через называется релятивистской массой. Из этого определения вытекает и название массы покоя, так как при покое точки .

Релятивистская масса зависит от скорости движения точки. Именно она увеличивается по мере возрастания скорости движения точки.

Введение релятивистской массы позволяет записать основной закон (29.2) в виде:

Сравнивая его с равенством (29.3), можно сказать, что при релятивистских скоростях движения точки (сравниваемых со скоростью света) масса точки, входящая во второй закон Ньютона, зависит от скорости ее движения.

В заключение параграфа подчеркнем, что критерием правильности закона (29.2) является его экспериментальная проверка, которая дала положительные результаты. В частности, факт увеличения массы точки находит свое подтверждение при разгоне частиц в магнитных полях.