ГЛАВА 28. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ ПРИ СКОРОСТЯХ ТОЧЕК, СРАВНИМЫХ СО СКОРОСТЬЮ СВЕТА (ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ)

§ 1. Порвый закон Ньютона и свойства пространства и времени ньютонианской маханики

Два основных постулата о времени и пространстве, принятых в законах ньютонианской механики

Основным постулатом о времени, принятым в законах ньютонианской механики, является неизменность течения его во всех координатных системах.

Критерием, определяющим системы координат, в которых справедливы и неизменны основные законы движения теоретической механики, является первый закон Ньютона. Эти системы названы ииерциальными. Напомним, что в них материальные точки под действием уравновешенных сил находятся в покое либо в равномерном и прямолинейном движеиии. Все инерционные системы движутся одна относительно другой поступательно равномерно и прямолинейно. Два указанных постулата определяют основные свойства пространства и времени и служат базой, на которой строится ньюгонианская механика.

Преобразования Галилея

Придадим указанным постулатам о времени и пространстве математическую формулировку.

Рассмотрим две координатные системы Пусть момент времени в сисгеме обозначается через а в системе через t, тогда постулат о неизменности течения времени в различных системах координат запишем в виде:

Заметим, что начало отсчета времени в системах и полагается одинаковым. Это не нарушает общности рассуждений, так как начало отсчета времени может быть выбрано произвольно.

Полагаем далее, что системы и являются инерциальными. Тогда координатные оси системы и координатные оси системы образуют неизменяемые с течением времени углы (рис. 145).

Рис. 145

Положение какой-либо точки М в системах будет определяться соответственно радиусами-векторами (рис. 145), которые связаны соотношением:

где — радиус-вектор, определяющий положение начала координат относительно (рис. 145). Так как система движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то ее скорость, которую назовем будет постоянна по величине и направлению. Следовательно, Откуда, предполагая, что в начальный момент начала координат совпадают, имеем:

Следовательно:

или, вводя координаты точки М соответственно в системе и системе имеем:

где — единичные орты системы — единичные орты системы Умножая скалярно последнее равенство последовательно на , найдем связь между х, у, z и х, у, z в виде:

где постоянные представляют собой направляющие косинусы, определяющие поворот системы относительно , обозначая через единичный вектор, направленный по имеем для следующие выражения:

или постоянные есть косинусы углов, которые вектор образует с осями системы

Равенства (28.1) и (28.4) представляют собой математическую запись постулатов о пространстве и времени ньютонианской механики. Они йосят название преобразований Галилея в координатной форме. Соответственно равенства (28.1) и (28.2) называются преобразованиями Галилея в векторной форме.

Подчеркнем, что преобразования Галилея включают в себя не только понятие инерциальных систем, но и постулат о времени теоретической механики.

В заключение обратим внимание на то, что следствием инерциальности координат является линейность относительно координат и времени преобразования метрических координат.

Частный вид преобразования Галилея

Как неоднократно указывалось, выбор той или иной системы координат зависит от исследователя и критерием для такого выбора служит математическая простота искомых соотношений. Поэтому, находясь в рамках инерциальных систем, не нарушая общности рассуждений, можно выбрать оси системы параллельными осям системы и оси направленными вдоль скорости движения системы относительно Тогда равенство (28.2) преобретает вид:

и переход от системы к системе осуществляется при помощи равенств:

Кинематические следствия преобразований Галилея

Используя соотношение продифференцируем основное равенство по времени, тогда:

или, так как есть скорость точки М в системе и есть ее скорость в системе то:

или

Последнее соотношение представляет собой частный случай теоремы сложения скоростей (см. главу 4, § 2), где играет роль переносной скорости, которая в рассматриваемом случае есть скорость поступательного, прямолинейного и равномерного движения системы относительно 5.

Дифференцируя последнее равенство по t и учитывая, что найдем:

или

ускорение точки в системах будет неизменным.

Инвариантность второго закона Ньютона относительно преобразований Галилея

Так как в ньютонианской механике постулируется неизменность силы и инертной массы при изменении систем координат, то из равенства следует инвариантность второго закона Ньютона относительно преобразований Галилея. Подчеркнем, что последнее утверждение включает в себя не только неизменность второго закона Ньютона в инердиальных системах, но и неизменность течения времени во всех инердиальных системах.

Основные свойства времени и пространства, заложенные в преобразованиях Галилея

Укажем основные свойства времени и пространства, которые заложены в преобразованиях Галилея.

1. Неизменность времени при переходе от одной инерциальной системы координат к другой влечет за собой неизменность интервала времени между двумя событиями в системах . Действительно, пусть в системе произошло какое-либо событие, которое в системе фиксируется в момент Пусть далее в системе произошло другое событие, которое фиксируется в системе в момент Тогда, в силу равенства мы можем утверждать, что время между двумя событиями, фиксируемое и происшедшее в системе будет равно времени между этими событиями, фиксируемое в системе Два одновременных события в системе будут фиксироваться в системе как одновременные события.

2. Преобразование Галилея влечет за собой сохранение длин при переходе от одной системы координат к другой. Действительно, рассмотрим две точки в системе определяемые координатами расстояние между которыми определится равенством:

В системе координат точки будут иметь координаты согласно частному виду преобразования Галилея

Следовательно, расстояние между этими точками в системе будет:

Смысл полученного равенства заключается в том, что расстояние между двумя точками пространства, измеренное в системах будет одно и то же.

Итак, основными свойствами пространства и времени ньютонианской механики, которые являются следствием преобразований Галилея, являются неизменность времени между событиями и неизменность расстояния между точками, измеряемых в различных инерциальных системах.

Эти свойства нам кажутся тривиальными, так как они соответствуют нашим непосредственным ощущениям.

Действительно, два города, отстоящие друг от друга на расстоянии 50 км, будут оставаться на этом расстоянии и для жителя какого-либо из городов (скстема и для пассажира, мчавшегося в курьерском поезде (система S). Одновременный салют в двух городах будет одновременным и для жителя города, и для пассажира поезда.