§ 3. Закон всемирного тяготения

Законы Кеплера

Кинематическая картина движения планет определяется тремя законами Кеплера, которые являются результатом обработки и обобщения тщательных наблюдений за движением планет. Они состоят в следующем:

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Определяя положение планеты полярными координатами полюс которой располагается в центре Солнца, уравнение траектории планет запишем в виде:

где параметр эллипса, - полуоси эллипса и — эксцентриситет эллипса — половина фокусного расстояния).

Заметим, что введенное уравнение определяет целый класс траекторий, зависящий от двух постоянных .

2. Площадь, описываемая радиусом-вектором планеты, проведенным из Солнца, возрастает пропорционально времени.

Второй закон Кеплера представляет собой закон площадей. Планеты движутся, следуя закону

где — радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете, — скорость планеты. Дифференцируя последнее равенство, имеем:

но

или Следовательно, сила, действующая на планету, есть центральная и направлена по прямой, проходящей через Солнце.

3. Квадраты сидерических времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Обозначая через Т сидерический период обращения планеты, третий закон Кеплера можем записать в виде:

Сила, под действием которой движутся планеты

Из законов Кеплера следует, что движение планет происходит под действием центральных сил, которые из физических соображений следует положить независящими от времени. Кроме того, планеты с Солнцем можно рассматривать как материальные точки, благодаря незначительности их размеров по сравнению с расстояниями между ними. В результате этого применима формула Бинэ. Переменная и этой формулы на основании первого закона Кеплера имеет вид:

Подставив и в формулу Бинэ, получим:

или возвращаясь к переменной и обозначив

будем иметь:

Полученная формула пока еще не дает закона изменения силы, так как она включает произвольные постоянные сир, входящие в которые, как указывалось при рассмотрении общей задачи об определении силы по уравнениям движения, должны быть исключены.

Используя третий закон Кеплера, докажем, что коэффициент сохраняет постоянное значение для всех тел солнечной системы и, таким образом, найденное выражение для силы представляет собой закон ее изменения.

Выразим период обращения планеты Т через постоянную площадей с. Так как с есть удвоенная секториальная скорость и площадь эллипса равна то

Откуда

Подставляя Т в третий закон Кеплера, имеем:

или

Коэффициент иногда называется постоянной Гаусса. Он одинаков для всех тел, совершающих движение под действием притяжения Солнца, и, следовательно, его величина может зависеть только от параметров Солнца. Итак, сила, под действием которой движутся планеты, будет центральная притягивающая, на что указывает знак минус в полученной формуле. Эта сила будет прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния между планетой и Солнцем.

Закон всемирного тяготения

Закон силы с которой планета притягивается Солнцем, определен. Обозначая постоянную Гаусса, характеризующую Солнце запишем:

Предполагая, что закон изменения силы с которой планета притягивает Солнце, будет такой же, имеем:

где М — масса Солнца и — постоянная Гаусса, характеризующая планету. В силу третьего закона Ньютона равны, следовательно:

Отсюда:

Из последнего равенства следует, что отношение гауссовый постоянной любого тела к его массе есть величина постоянная, она называется гравитационной постоянной и обозначается буквой . Тогда

Подставляя значения и в выражения для сил получаем

Закон изменения силы был выведен на основании эмпирического изучения движения планет. Однако, он оказался справедливым не только для Солнца и планет, но и для всех без исключения материальных макротел. Благодаря этому он получил название закона всемирного тяготения. Содержание его, определяемое последней формулой, следующее: два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Этот закон является одним из самых совершенных примеров научного обобщения, охватывающего колоссальную область естественных явлений.