§ 2. Принцип Лагранжа — Даламбера и принцип виртуальных перемещений Лагранжа

Принцип Лагранжа — Даламбера

Как указывалось выше, движение произвольных механических систем, а также силы реакции связей будут полностью определены, если заданы массы точек системы активные силы т. е. можно записать уравнения движения вида:

а также заданы уравнения связей вида:

и поставлено условие идеальности связей, которое записывается в виде:

Ставя своей целью найти только уравнения движения системы в строгом смысле слова, придем (как это делалось раньше), используя уравнения движения и условия идеальности связей, к соотношению:

Напомним, что из этого соотношения как следствие были получены уравнения Лагранжа второго рода (см. главу 20, § 2).

Последнее соотношение можно записать в виде:

где члены имеющие размерность силы, называются силами инерции и определяются по формуле:

Равенство (23.1) представляет собой общее уравнение механики или принцип Лагранжа — Даламбера, который состоит в следующем: если на систему наложены удерживающие идеальные связи, то сумма виртуальных работ всех активных сил и сил инерции, действующих на механическую систему на любом виртуальном перемещении. равна нулю в каждый данный момент времени.

Сформулированный принцип можно принять как основную и единственную аксиому теоретической механики, заключающую в себе все содержание последней.

Из этого принципа уже фактически получены уравнения Лагранжа второго рода. Могут быть получены уравнения Лагранжа первого рода и так далее.

Принцип освобождаемости связей

Характерной особенностью принципа Лагранжа — Даламбера является то, что в нем исключены силы реакций связей, неизвестные в задачах механики. Однако если ставится задача определения этих реакций, то они могут быть введены в этот принцип. Действительно, воспользуемся так называемым принципом освобождаемости связей, который заключается в следующем: не нарушая движения (или в частном случае покоя) системы, можно отбрасывать отдельные связи и прикладывать к системе соответствующие этим связям реакции.

Смысл этого принципа заключается в том, что отбрасывание связи увеличивает число степеней свободы системы, т. е. изменяется кинематика системы, в то время как динамическая картина движения остается неизменной.

Уравнения движения системы с реакциями связей

Принцип освобождаемости связей переводит силы реакции в класс активных сил и позволяет составить уравнения, включающие неизвестные силы реакции.

Действительно, освобождая систему от всех связей, наложенных на нее, мы должны в соотношение (23.1) внести все силы реакции связей и записать его в виде:

причем теперь, так как система освобождена от связей, то все вариации координации ее произвольны, и, следовательно, из последнего соотношения имеем:

Подставляя сюда значение сил инерции, придем к исходным уравнениям движения настоящего параграфа.

Принцип Лагранжа

Из принципа Лагранжа — Даламбера можно получить условие равновесия сил, действующих на механическую систему. Действительно, в этом случае ускорения точек системы равны нулю, а следовательно, равны нулю и силы инерции или и общее уравнение механики имеет вид:

или сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему на любом виртуальном перемещении, равна нулю, если механическая система находится в равновесии и связи, наложенные на систему, идеальны.

Это соотношение носит название принципа виртуальных перемещений или принципа Лагранжа.

Условия равновесия системы

Принцип виртуальных перемещений дает критерий уравновешенности сил, действующих на систему, в который входят только активные силы и исключены силы реакций связи, неизвестные в задачах механики. Благодаря этому принцип Лагранжа служит непосредственно для составления условий равновесия системы. Действительно, пусть система имеет степеней свободы, тогда

и принцип Лагранжа записывается в виде:

Откуда следуют условия равновесия системы, записанные через обобщенные силы

Так как этих условий то из полученных равенств следует, что система с степенями свободы имеет условий равновесия, которые представляют собой равенство нулю всех обобщенных сил системы.

Если система консервативна, то обобщенные силы имеют вид:

Следовательно, условия равновесия консервативных систем будут:

Так как последние равенства представляют собой необходимые условия относительного экстремума функции то, следовательно. для равновесия консервативной системы достаточно, чтобы в положении равновесия силовая функция достигала относительного экстремума. Из принципа виртуальных перемещений можно получить и уравнения равновесия, если, опираясь на принцип освобождаемости связей, заменить воздействие связей их реакциями и соответственно увеличить число степеней свободы системы.

Об уравновешенности сил, приложенных к твердому телу

Весьма важным новым следствием принципа виртуальных перемещений является обычно принимаемое аксиоматически положение, что две силы, равные по величине, противоположные по направлению и имеющие одну и ту же линию действия, уравновешены на абсолютно твердом теле. Докажем это положение.

Обозначая указанные силы через (рис. 136), подсчитаем сумму их виртуальных работ

Рис. 136

Переходя к виртуальным скоростям и раскрывая скалярное произведение, запишем:

где — соответственно углы, которые составляют виртуальные скорости с линией действия сил и (рис. 136). Но в силу теоремы Грасгофа проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны, и, отсюда, сумма виртуальных работ сил равна нулю и, следовательно, они уравновешены.

Заметим, что указанная уравновешенность сил, действующих на твердое тело была необходимой аксиомой для построения

геометрической статики (см. главу 10). Теперь это положение догазано на базе аксиом Ньютона и постулата идеальности связей, которые заложены в принцип Лагранжа. Следовательно, аксиома об уравновешенности сил в статике твердого тела играла роль постулата идеальности связей.