§ 5. Первые интегралы уравнений движения

Определение первых интегралов уравнений Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка. Интегрирование этих уравнений при заданных начальных условиях является неразрешимой в общем виде математической задачей. В большинстве случаев эта задача не решается и в конкретных примерах. Однако часто удается получить ряд сведений относительно физической картины изучаемого движения, которые и интересуют исследователей. Эти сведения даются в первых интегралах уравнений движения. В соответствии с определением первых интегралов, данных ранее (см. главу 7, § 4), первыми интегралами уравнений Лагранжа второго рода называются функции, зависящие от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени t, которые равняются постоянной, если обобщенные координаты удовлетворяют уравнениям Лагранжа. Математическая запись первых интегралов имеет вид:

Примером первого интеграла уравнения Лагранжа систем, на которые действуют потенциальные силы, служит равенство . В случае консервативных систем первым интегралом уравнений Лагранжа служит закон сохранения механической энергии. Если известно независимых первых интегралов уравнений движения, то они позволяют определить обобщенных координат как функции времени, и произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий.

Циклические координаты

Предположим, что движение системы описывается уравнениями, содержащими только функцию Лагранжа вида:

Первые интегралы этих уравнений движения получаются автоматически, если в выражение функции Лагранжа не входит какая-либо обобщенная координата, но соответствующая ей обобщенная скорость присутствует в

Координаты, которые содержатся в функции Лагранжа только под знаком произведшие по времени, называются циклическими. Для циклической координаты

и из уравнений движения следует

Последнее соотношение представляет собой первый интеграл уравнения движения, так как — представляет собой некоторую функцию от и t, которая обращается в постоянную, если удовлетворяют уравнениям движения.

Обобщенные количества движения или обобщенные импульсы

Установим, что собой представляют выражения в некоторых частных случаях движения систем.

1) Рассмотрим поступательное движение свободного изолированного твердого тела. Кинетическая энергия его будет вида:

где М — масса всего тела, х, у, z — координаты какой-либо точки тела.

Так как тело изолировано, то . В этом случае выражения будут

или представляют составляющие количества движения твердого тела и х, у, z будут циклическими координатами.

2) Рассмотрим вращение изолированного свободного твердого тела вокруг неподвижной оси. Так же как в предыдущем случае

Так как последнее выражение представляет собой момент количества движения тела относительно оси вращения, то ему и равно координата будет циклической координатой.

3) Рассмотрим свободную изолированную консервативную систему. Выбирая для нее в качестве обобщенных координат декартовы координаты точек системы, будем иметь:

Следовательно, представляет собой количество движения точки системы в проекциях на координатные оси и будут циклическими координатами.

Так как в ряде случаев, как следует из приведенных примеров, представляет собой проекции количества движения точки или системы, то это дало повод к названию обобщенным количеством движения или обобщенным импульсом, который обозначается через (следует заметить, что название обобщенный импульс более распространено в аналитической механике, и его мы в дальнейшем будем придерживаться).

Используя понятие обобщенных импульсов, существование первых интегралов уравнений движения можно сформулировать следующим образом: если механическая система описывается полностью функцией Лагранжа и координата является циклической, то соответствующий ей обобщенный импульс остается постоянным.

Упрощение общей задачи движения системы при наличии циклических координат

Если несколько координат будут циклическими, то из соотношений

можно найти производные циклических координат и подставить их в выражения L. Тогда L будет функцией меньшего (по сравнению с первоначальным) числа переменных, и, следовательно, общее число дифференциальных уравнения движения уменьшится, что упрощает задачу интегрирования этих уравнений. Далее будет указан общий прием подобного уменьшения числа уравнений.

Симметрия

Как указано выше, циклические координаты влекут за собой постоянство обобщенных импульсов или определение первых интегралов уравнений движения. Постоянство обобщенных импульсов можно рассматривать как определенное свойство системы, важное в применении механики к вопросам современной физики. Эти свойства следующие: если обобщенная циклическая координата есть некоторая декартова координата, то функция Лагранжа будет инвариантна по отношению к перемещению системы вдоль соответствующей оси. Если обобщенная циклическая координата есть угол, то функция Лагранжа будет инвариантна относительно вращения системы вокруг некоторой оси. Постоянство обобщенных импульсов, соответствующих циклическим координатам, указывает на симметрию системы. Следовательно, интегралы движения или свойства сохранения и симметрии — это синонимы, которые могут быть использованы в той или иной интерпретации.