Е. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА 13. ГЕОМЕТРИЯ МАСС

§ 1. Кинетический момент твердого тела в частных случаях его движения

Тема настоящей главы

Вся динамика твердого тела полностью описывается теоремами о количестве движения и о моменте количества движения. Поэтому раздел «Динамика абсолютно твердого тела» представляет собой развитие указанных теорем. Значительную роль играет в этом разделе и теорема о кинетической энергии, так как она приводит к интегралу уравнений движения, имеющему место во многих практически важных задачах. Изучение этого раздела начнем с рассмотрения кинетического момента тела в различных случаях движения его и займемся вопросом выбора системы координат, в которой кинетический момент имеет простейший вид. Эти вопросы имеют существенное значение при составлении уравнений движения тела в частных случаях его движения.

Кинетический момент поступательно движущегося твердого тела

Пусть твердое тело движется поступательно и имеет скорость v. Тогда

м так как

то

Если начало координат выбрать в центре масс тела, то

Итак, кинетический момент поступательно движущегося тела относительно его центра масс равен нулю.

Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью При этом скорость любой точки тела будет равна:

Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно точки будет:

Раскрывая двойное векторное произведение, получим:

Отсюда:

Проектируя векторы, входящие в последнее равенство, на оси неподвижной системы координат с началом в точке О, находим:

или после преобразования

Аналогично будем иметь:

Произведение массы точки на квадрат ее расстояния от какой-либо оси называется моментом инерции этой точки относительно рассматриваемой оси. Сумма моментов инерции всех точек системы относительно некоторой оси называется моментом инерции системы относительно этой оси.

Замечая, что квадрат расстояния точки до оси равен

а до осей

и

заключаем, что величины

представляют собой моменты инерции системы относительно осей х, у, z.

Суммы

носят название центробежных моментов инерции системы. Шесть скалярных величин полностью определяются распределением масс в твердом теле. Пользуясь этими величинами, запишем проекции кинетического момента твердого тела в более компактном виде:

Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Последние равенства могут служить для вычисления кинетического момента твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, так как это движение представляет собой частный случай

вращения тела вокруг неподвижной точки. Направим ось z по оси вращения, тогда будем иметь:

и, следовательно,

Отсюда

Кинетический момент свободного твердого тела

Формулы (14.1) можно использовать и при вычислении кинетического момента твердого тела в самом общем случае его движения. Действительно, общий случай движения твердого тела можно составить из поступательного движения, совершающегося со скоростью какой-либо его точки, и вращательного вокруг этой точки. Выбрав в качестве такой точки центр инерции системы и поместив в нем начало координатной системы х, у, z , можно по формулам (14.1) вычислить