§ 4. Преобразование скорости и ускорения (теорема сложения скоростей Эйнштейна)

О невозможности существования скоростей материальных точек больших скоростей света

Из преобразований Лоренца (помимо указанных геометрических свойств пространства и времени) вытекают некоторые кинематические свойства материальных точек, движущихся в инерциальных системах. Основное кинематическое свойство материальных точеь заключается в том, что в инерциальной системе они не могут иметь скорости, большие скорости света. Действительно, пусть точка движется равномерно со скоростью Свяжем с этой точкой

инерциальную систему Тогда точкам этой системы с координатами нельзя поставить в соответствие точки системы с координатами так как координата основании преобразования Лоренца) при этом будет мнимая. Следовательно, невозможно. Последнее обстоятельство находит свое отражение в теореме сложения скоростей Эйнштейна, которая указывает связь между скоростями точки, которые наблюдаются в двух инерциальных системах

Преобразование скорости

Рассмотрим движение некоторой материальной точки М, наблюдаемое в системах и . Уравнения движения (в конечной форме) точки М в системе ее компоненты скорости и модуль скорости в этой системе будут вида:

В системе та же точка будет иметь уравнения движения, компоненты скорости и модуль скорости вида:

Положим, что система движется относительно вдоль положительного направления оси со скоростью и оси этой системы параллельны осям системы

На основании преобразования Лоренца связь между координатами и временем системы и определяется соотношениями:

Определим связь между скоростями точки в и Из последних соотношений имеем:

Отсюда путем деления на последнее соотношение имеем:

Найденные формулы устанавливают связь между скоростями точки в системах и

Пользуясь формулами, устанавливающими связь между найдем обратную связь между скоростями точки в системе 5 и в виде

Теорема сложения скоростей Эйнштейна

Формулы преобразования скоростей можно трактовать как формулы сложения скоростей. Для этого обозначим угол между направлением скорости и через а. Так как направлено вдоль положительного направления z (или то а. Используя последнее, найдем модуль скорости выраженный через и в виде:

Рассматривая движение точки М относительно как относительное движение, относительно как (условно) абсолютное движение и движение относительно как переносное движение, формулы (28.20) и (28.21) определяют закон сложения скоростей точки специальной теории относительности. Подчеркнем, что этот закон справедлив только в случае, если и — инерциальные системы (это обстоятельство играло существенную роль при выводе формул). Формулы (28.20) и (28.21) получили в литературе название теоремы сложения скоростей Эйнштейна.

Формуле (28.22) можно придать более компактный и симметричный вид, именно:

Из этой формулы непосредственно следует, что сумма двух скоростей, меньших скорости света, всегда меньше скорости света. Из формулы (28.21) следует, что если одна из скоростей или равны с, то сумма их также будет равна с (что непосредственно вытекает из основного закона специальной теории относительности и, следовательно, является критерием правильности полученных формул).

Предельный и частные случаи теоремы сложения скоростей Эйнштейна

В предельном случае, когда мало по сравнению со скоростью света с, теорема сложения скоростей Эйнштейна обращается в теорему сложения скоростей классической механики:

Если скорости направлены по одной прямой , то

Из этой формулы непосредственно очевидно, что если или равны с, то и . Если взаимно перпендикулярны

Из этой формулы следует, что если равно с, то равно

Теорема сложения скоростей Эйнштейна и ньютонианской механики

Как указано, теорема сложения скоростей Эйнштейна в предельном случае обращается в теорему сложения скоростей ньютонианской механики. Однако следует подчеркнуть существенное отличие

этих теорем. Именно, формула сложения скоростей ньютонианской механики (см. главу 4, § 2) применима для любых координатных систем, двигающихся одна относительно другой (подвижной и неподвижной относительно наблюдателя). Эти системы могут быть и не инерциальны. Теорема сложения скоростей Эйнштейна применима только для инерциальных систем. При применении этой теоремы подвижная относительно наблюдателя система может двигаться только поступательно, равномерно и прямолинейно.

Аберрационное смещение звезд

Как указывалось (см. главу 4, § 2), наблюдаемое смещение звезд по небесной сфере, называемое аберрационным, происходит в результате движения Земли вокруг Солнца. Элементарное объяснение этого явления, данное в ньютонианской механике, не является вполне удовлетворительным, так как это объяснение включает в себя скорости, большие скорости света, что невозможно, как указывается в специальной теории относительности. Поэтому рассмотрим это явление в рамках специальной теории относительности.

Введем предварительно вспомогательную формулу. Пусть точка М в системе имеет скорость которая составляет со скоростью угол а. Эта же точка М в системе пусть имеет скорость которая составляет со скоростью (или осями угол а. Тогда:

Используя последнюю формулу преобразования скоростей (28.21), запишем теперь ее в виде:

Далее первые две формулы преобразования скоростей возведем в квадрат и сложим, в результате получим:

Но так как

то

Отсюда формула (28.25) может быть записана в виде:

Разделив формулу (28.24) на (28.26), имеем:

Применим эту формулу для вычисления аберрационного смещения звезд.

Пусть звезда находится в полюсе эклиптики. Свяжем с плоскостью эклиптики жестко координатную плоскость системы . С центром Земли свяжем систему координат и направим ось z и z вдоль направления скорости движения Земли Положим, что системы и инерциальны (это справедливо только приближенно, так как эти системы двигаются не прямолинейно поступательно). Так как свет можно рассматривать как поток световых квантов (или фотонов), то в качестве материальной точки можно выбрать фотон, скорость которого в системе будет направлена вдоль оси х (рис. 150).

Следовательно, Тогда угол который будет составлять скорость с с в системе согласно формуле (28.27), будет:

Из формулы сложения скоростей ньютонианской механики (Уабс (рис. 151) Имеем:

или

Если фотон, двигающийся со скоростью с в системе составляет с угол а и скорость этого же фотона в системе с

составляет угол а, то, вводя углы (рис. 152), равные , перепишем формулу (28.27) в виде:

Рис. 150

Соответствующая формула ньютонианской механики имела вид (см. главу 4, § 2).

Таким образом, из сравнения формул (28.28) и (28.29), (28.30) и (28.31) следует, что поправка, вносимая специальной теорией относительности в формулы аберрационного смещения, определяется множителем

Рис. 151

Рис. 152

Так как — мало, то указанная поправка

будет малой величиной второго порядка. Благодаря этому наблюдения подтверждают формулы (28.29) и (28.31), так как величина порядка выходит за пределы точности наблюдений.

Преобразование ускорения

В ньютонианской механике при переходе от одной инерциальной системы к другой ускорение движущейся точки остается неизменным. Не так обстоит дело в специальной теории относительности. Действительно, рассмотрим точку, двигающуюся вдоль осей и z, тогда ее скорости будут связаны соотношением:

Отсюда в силу того, что имеем:

Отсюда

Итак, при переходе от одной инерциальной системы к другой, в рамках специальной теории относительности, ускорение точки изменяется.