§ 4. Уравнения Лагранжа первого рода

Уравнения движения связных механических систем

Итак, уравнениями движения механических связных систем, достаточными для определения ее движения, являются:

уравнения связей вида:

и условие идеальности связей:

Как следствие уравнений связей, имеем:

Коэффициент связей

Исключение зависимых вариаций из условия идеальности связей в последних соотношениях можно осуществить при помощи некоторых скалярных множителей, что позволяет эту операцию произвести весьма симметрично. Именно, умножим каждое из последних равенств на пока произвольный множитель — и сложим все эти равенства с условием идеальности связей, тогда будем иметь:

или, переходя к проекциям, имеем:

В полученном выражении а вариаций координат будут зависимы. Выберем а произвольных множителей так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях равнялись нулю (можно строго показать, что подобная операция всегда выполнима). Тогда в последнем уравнении останутся только вариации независимых координат, и так как их можно выбирать произвольно, то коэффициенты при них должны равняться нулю. Следовательно, из последнего равенства имеем:

или в векторной форме:

Из приведенных равенств следует, что неизвестных проекций реакций связи выражаются через а коэффициентов , которые называются коэффициентами связей.

Уравнения Лагранжа 1-го рода

Подставляя найденные значения выраженные через коэффициенты связей, в уравнения движения, имеем:

Эти уравнения называются уравнениями несвободного движения механической системы с множителями Лагранжа или уравнениями Лагранжа первого рода.

Кроме этих уравнений как следствие уравнений связи имеем соотношения:

Две последние системы уравнений содержат а скалярных уравнений относительно а неизвестных, которыми являются проекций ускорений на оси координат и коэффициенты

Порядок определения этих неизвестных следующий: из уравнений движения определяются ускорения и подставляются в соотношения, которым удовлетворяют возможные ускорения. В результате получим систему линейных уравнений относительно а неизвестных коэффициентов, которые из последних и определяются. Можно доказать, что полученная система линейных уравнений всегда имеет единственное решение. После определения коэффициентов связей их значения подставляются в уравнения движения, после интегрирования которых определяются координаты точек системы как функции времени и начальных условий.

Уравнения движения точки по идеально гладкой поверхности

В качестве примера рассмотрим применение уравнений Лагранжа первого рода для изучения движения материальной точки, которая движется по идеально гладкой поверхности. Уравнение последней запишем в виде:

Уравнения Лагранжа первого рода в этом случае в проекции на оси координат будут вида:

Для определения коэффициента имеем соотношение: